О возможностях и ограничениях p-теоремы. Подобие физических явлений

ЛЕКЦИЯ 5

О возможностях и ограничениях p-теоремы

          Приведенные примеры позволяют сделать вывод о том, что p-теорема в каждом конкретном случае дает полезную информацию об изучаемой задаче. В ряде простых задач получаются полные и правильные решения. Использование безразмерных комплексов приводит к уменьшению числа независимых параметров и обеспечивает возможности сопоставления и обобщения результатов.

          Кроме того p-теорема является хорошей основой понимания природы единиц, размерностей и, связанных с ним, положений.

          Однако p-теорема как один из методов фракционного анализа имеет четыре недостатка.

1.  Отсутствуют прямые способы нахождения определяющих параметров. По существу метод размерностей применяется тогда, когда параметры задачи уже определены. В правильности их выбора основную роль играют интуиция и опыт исследователя.

2.  Существуют некоторые отклонения от p-теоремы, которые необъяснимы на основе дополнений, осуществленных при использовании теории линейно независимых уравнений. В некоторых случаях зависимые переменные должны быть исключены из комплексов p, в других необходимо иметь меньше параметров, чем их получается из p-теоремы. Причина расхождений не вытекает из необходимых условий применения p-теоремы и ее сущности.

3.  p-теорема не указывает условий, при которых можно пренебречь одним или несколькими комплексами p. Последнее является важным для определения правил приближенного подобия.

4. Из p-теоремы не ясны способы определения наиболее важных для решения данной задачи безразмерных комплексов.                                                              

,

где  – критерий Фурье (критерий тепловой гомохронности). Характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими свойствами и размерами тела.

ПРИМЕР.

          Изучить механизм заполнения и остановки потока расплава.

          Рассмотрим сплав без учета его взаимодействия с поверхностью формы. Весь интервал температуры целесообразно разбить на два  и , где  – избыточная температура заливки;  – избыточная температура ликвидуса сплава;  – избыточная температура остановки потока.

Найдем список определяющих переменных и параметров. Для первого интервала температуры к таким величинам следует отнести: удельную теплоемкость – , Дж/кг·К; плотность расплава – , кг/м³; теплопроводность – , Вт/мК; кинематическую вязкость – , Па/с; перегрев жидкой фазы – .

Двухфазная зона потока характеризуется удельной теплоемкостью потока – , Дж/кг·К; плотностью – , кг/м³; кинематической вязкостью – , Па/с; теплопроводностью – , Вт/мК; удельной теплотой кристаллизации – , Дж/кг; температурой , К; перегревом – . Очевидно, что зависимый параметр будет являться некоторой функцией от этих величин. В неявной форме эта функция будет иметь вид

;