Пакет аналитических вычислений Maple, страница 6

RowOperation(A, K) (ColumnOperation(A, K)) - функция, где K - список из двух чисел, возвращающая матрицу, у которой переставлены строки (столбцы), соответственно числам в списке K:

Пример 5.5. Переставить местами 1-ую и 2-ую строки матрицы A, где

A =

Умножение строки (столбца) на алгебраическое выражение

RowOperation(A, K, s) (ColumnOperation(A, K, s))  - функция, где К – целое число, возвращающая матрицу, у которой К-ая строка (столбец) умножена на s:

Пример 5.6. Дана матрица A =

1)  умножить 2-ую строку матрицы A на 2.

2)  умножить 2-ой столбец матрицы A на λ.

Прибавление к одной из строк (столбцов) другой строки (столбца)

RowOperation(A, K, s)  - функция, где К – список из двух целых чисел i₁ и i₂, возвращающая матрицу, у которой строка i₁ заменена на сумму Row(A, i₁) + s∙Row(A, i₂).

Аналогично ColumnOperation(A, K, s) возвращает матрицу, у которой стобец i₁ заменен на сумму Column(A, i₁) + s∙Column(A, i₂):

Пример 5.7. Умножить 2-ую строку матрицы A на 2 и прибавить к 1-ой, где A =

Глава 6

Жорданова нормальная форма матрицы

Определение 6.1. Квадратные матрицы A и B, одного и того же порядка, называются подобными, если существует такая невырожденная матрица C, что имеет место равенство A = C^-1BC.

Пример 6.1. Проверить, подобны ли матрицы A =  и B =

Рассмотрим квадратные матрицы порядка n над полем P.

Определение 6.2. Жордановой клеткой  порядка k относящейся к числу λ₀ называется матрица порядка k (где ) вида:

Примеры:

K=1;;  K=2; ; K=3;

Определение 6.3. Жордановой матрицей порядка n называется матрица вида:

где J₁, J₂, …, J_s - жордановы клетки.

Диагональные матрицы являются частным случаем жордановой матрицы, у них все жордановы клетки 1-го порядка.

Алгоритм приведения квадратной матрицы к жордановой нормальной форме:

Шаг 1. Находим все корни характеристического многочлена в матрице A и их кратности. Если хотя бы один корень не принадлежит полю P, то делаем вывод, что матрица не приводится к жордановой нормальной форме.

Шаг 2. Пусть λ - один из корней характеристического многочлена матрицы A и k - его кратность.

По формуле l(λ) = n – rang(A – λE) определяем общее число клеток жордана вида J_t(λ), t = 1, 2, ..., k.

Для по формуле

l_r(λ) = rang(A – λE)^{t + 1} – 2·rang(A – λE)^t + rang(A – λE)^{t - 1} находим общее число клеток порядка t с элементом λ на главной диагонали входящих в матрицу жордана J. При этом (A – λE)⁰ = E.

Шаг 3. Повторяем второй шаг для всех корней характеристического многочлена матрицы A.

Шаг 4. Расставляем клетки жордана на главной диагонали матрицы J.

Пример 6.2. Найти Жорданову форму матрицы A, где A=

Шаг 3. Построим по полученным данным Жорданову нормальную форму исходной матрицы:

(построение производится вручную)

Шаг 4. Проверим результат:

Примечание: Матрицы J и J1 равносильны. Так как одна сводится к другой при помощи элементарных преобразований.

Глава 7

Функции от матриц

Пусть имеется матрица A  C_n,n и функция f : C→ C. Требуется определить f(A).

В частном случае когда - многочлен относительно x, f(A) мы находим непосредственной подстановкой:

Пусть ψ(λ) - минимальный многочлен матрицы A.

,,

где - все различные собственные значения матрицы A.

Пусть имеются два многочлена g(λ) и h(λ), такие, что g(A) = h(A), тогда d(λ) = g(λ) – h(λ) – аннулирующий многочлен матрицы (так как d(A) = g(A) – h(A) = 0) и, значит, делится на ψ(λ) без остатка.

Следовательно,

, , … , ,

Значит,

, , … , ,

Множество, состоящее из m чисел:

,

будем называть значениями функции f на спектре матрицы A. Если они существуют, то будем говорить, что функция f  определена на спектре матрицы A. Если функция f  не определена на спектре матрицы A, то не определено и f(A).

Мы показали, что если g(A) = h(A), то g(Λ_A) = h(Λ_A). Нетрудно заметить, что верно и обратное, то есть если g(Λ_A) = h(Λ_A), то g(A) = h(A).

Отсюда следует, что значения многочлена g на спектре матрицы A однозначно определяют матрицу g(A), то есть все многочлены, значения которых на спектре матрицы A совпадают с g(­Λ_A), будут иметь матричное значение g(A).

Таким же образом определим произвольную функцию матричного аргумента: значения функции f(λ) на спектре матрицы A должны полностью определять f(A), то есть все функции, значения которых на спектре матрицы A совпадают, должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Но тогда, для того чтобы найти f(A), достаточно найти любой многочлен g(λ), который на спектре матрицы A принимал бы те же значения, что и функция. Тогда f(A) = g(A).

Определение 7.1. Пусть функция f определена на спектре матрицы A, тогда f(A) = g(A), где g(λ) - любой многочлен, такой, что f(Λ_A) = g(Λ_A).

Но всегда можно добиться того, что степень многочлена, с помощью которого мы определяем f(A), будет меньше m. Действительно, разделим g(λ)на ψ(λ):

g(λ) = ψ(λ) q(λ) + r(λ), где deg r < m.

Тогда g(A) = ψ(A) q(A) + r(A), но ψ(A) = 0, следовательно, g(A) = r(A), значит f(A) = r(A).