![]() |
Второй вариант:
Теорема 4.1.
(O скелетном разложении матрицы.) Пусть A Pm,n,, rank A = r
>0, тогда существуют B
Pm,r, C
Pr,n, такие,
что A=BC и rank B = rank C = r.
Определение 4.1. Пусть A Pm,n,
тогда МП-матрицей или псевдообратной для матрицы A
называется матрица A+
Pn,m
такая, что выполняется следующее равенство:
1) AA+A= A;
2) A+AA+ =A+;
3) (A+A)* =A+A;
4) (AA+)* =AA+;
где A*=ĀT.
Теорема 4.2.
Для любой матрицы APm,n существует единственная псевдообратная
матрица A+.
Определение 4.2. Пусть имеется система m линейных уравнений с n неизвестными,
которой соответствует матричное уравнение AX= B,
где APm,n, X
Pn,1
, B
Pm,1. Столбец Y= B – AX называется невязкой
столбца X. Если X - решение системы, то
невязка равна нулю (Y=
0), если же система несовместна, то столбец X, длина
невязки которого минимальна, называется нормальным псевдорешением системы
AX=
B.
Теорема 4.3. Нормальное псевдорешение системы AX = B всегда существует, единственно и вычисляется по формуле X0 = A+B.
Нахождение МП-матрицы осуществляет специальная функция из пакета LinearAlgebra MatrixInverse, которая вычисляет обратную для любой матрицы, в том числе и для прямоугольной или вырожденной матрицы.
Пример 4.1.
Найти псевдообратную матрицы A, если A=
![]() |
Можно найти МП-матрицу и алгоритмически, не применяя встроенной функции. Это помогает, когда необходимо произвести проверку в вычислениях того или иного шага в алгоритме.
Пример 4.2.Найти псевдообратную матрицу матрицы A, если
A =
![]() |
Ввод исходной матрицы и вычисление её скелетного разложения, и нахождение псевдо-обратной матрицы:
Следующий блок выполняет выделение из матрицы r первых линейно-независимых столбцов.
Находим матрицу C, A=BC:
Получение МП-матрицы:
Вычисляем длину невязки:
Определение 5.1. Множество V называется линейным или векторным пространством над полемP если:
а) любым элементам x, y из V поставлен в соответствие элемент z = x + y из V, называемый суммой x и y;
б)любому элементу x из V и любому числу λ из поля P поставлен в соответствие элемент λx, называемый произведением числа λ на элемент x так, что эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:
1. 1) x + y = y + x
2) (x + y) + z = x + (y + z)
3) существует элемент 0 такой, что x+ 0 = x для любого элемента x из V
4) для любого элемента x из V существует элемент –x из V такой, что x + (–x) = 0
2. 1) 1·x = x для любого элемента x из V
2) α(βx) = (αβ)x для любых α, β из P и любого x из V
3. 1) (α + β)x= αx+ βx для любых α, β из P и любого x из V
2) α(x + y) = αx+ αy для любого α из Р и любых элементов x, y из V
Определение 5.2. Преобразование A, линейного пространства V, называется линейным, если:
1) A(x+ y) = Ax+ Ay, для любого x и y из V;
2) A(λx) = λAx, для любого x из V и для любого λ из P, где P – некоторое поле.
Определение 5.3. Вектор x из V называется собственным для линейного преобразования F, если существует λ из P, такое что Fx= λx, число называется собственным значением линейного преобразования F соответствующего собственному значению x.
Пример 5.1. Найти собственные значения и собственные вектора для
матрицы A, где A =
![]() |
Определение 5.4. Многочлен |A– λ E| называется характеристическим многочленом матрицы A, а уравнение |A– λ E|=0 называется характеристическим уравнением. Корни характеристического уравнения называются собственными значениями матрицы A.
Пример 5.2. Найти характеристическую матрицу и характеристический
многочлен матрицы A, где A =
![]() |
Определение 5.5. Скалярный многочлен f(λ) называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы A, если f(A) = 0.
Аннулирующий многочлен ψ(λ) наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным многочленом матрицы A.
Пример 5.3. Найти минимальный многочлен матрицы A, где A
=
![]() |
Определение 5.6. Квадратная матрица порядка n, элементы которой – многочлены от переменной λ с коэффициентами из поля P называется многочленной матрицей или λ-матрицей.
Примерами многочленных матриц могут служить:
1) Характеристическая матрица |A–λE|;
2) Матрица с элементами из поля P.
Пример
5.4. Ввод характеристической матрицы A =
![]() |
Определение 5.7. Элементарными преобразованиями матрицы A(λ) называются преобразования из следующих типов:
1)
умножение любой строки матрицы A(λ)
на любой элемент
2)
умножение любого столбца матрицы A(λ)
на любой элемент
3)
прибавление к любой i-ой
строке матрицы A(λ) любой ее j-ой строки, умноженной на
любой многочлен φ(λ) над полем P ().
4)
прибавление к любому i-ой
столбцу матрицы A(λ) любого его j-ого столбца, умноженного
на любой многочлен φ(λ) над полем P ().
В Maple элементарные преобразования выполняют функции ColumnOperation и RowOperationдля столбцов и строк соответственно.
Перестановка строк (столбцов)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.