Векторний добуток векторів та його властивості. Аналітична геометрія в просторі та на площині (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 8

2. Знайти рівняння даної лінії в декартовій прямокутній системі координат ОХУ, початок якої суміщується з полюсом полярної системи, а додатна піввісь абсцис ОХ – з полярною віссю ОА (див. рис. 22)

Розв’язання.

Запишемо рівняння лінії у вигляді

, або

Скориставшись формулами (1) і (2), тобто , матимемо .

Виконуючи тотожні перетворення, можна записати

16(х² + у²) = (9 + 5х)²

16х² + 16у² = 81 + 90х + 25х² ,     9х² + 90х – 16у² + 81 = 0

9(х² + 10х + 25 - 25) – 16у² + 81 = 0,   9(х + 5)² – 16у² = 144

Тобто шукане рівняння кривої

3. Відшукати формули перетворення координат від старої системи ОХУ до нової системи О₁ХУ та визначити назву лінії другого порядку.

Розв’язання.

Записуючи формули перетворення координат при паралельному зсуві осей, які виражають нові координати (Х, У) через старі координати (х, у), отримаємо

,

тобто початок нової системи О₁ХУ у старій системі ОХУ має координати (-5, 0).

Таким чином, лінія другого порядку є права вітка гіперболи, яка має дійсну піввісь а = 4, уявну піввісь в = 3, відстань між фокусами , де , тобто F₁F₂ = 10.

4.  Звести до канонічного вигляду рівняння лінії 2-го порядку та побудувати нову систему координат О₁ХУ.

Розв’язання.

Канонічне рівняння даної лінії в новій декартовій системі координат О₁ХУ має вигляд .

Рівняння асимптот гіперболи -  (див. рис. 22)

4.8 Запитання для самоперевірки

1.  Дайте означення рівняння даної лінії L в декартовій системі координат на площині ОХУ.

2.  Назвіть хоча б дві найпростіші задачі аналітичної геометрії.

3.  Які рівняння площини в просторі ОХУZ ви знаєте?

4.  Запишіть умови взаємної перпендикулярності та взаємної паралельності двох площин.

5.  Які рівняння прямої в просторі ОХУZ ви знаєте?

6.  Як знайти кут між двома прямими?

Як знайти кут між прямою L і площиною Р?

7.  Які рівняння прямої на площині ОХУ ви знаєте?

8.  Які умови взаємної перпендикулярності та взаємної паралельності ви знаєте?

9.  Запишіть загальне рівняння кривої другого порядку в декартовій системі координат ОХУ.

10. Дайте означення еліпса, ексцентриситету і директрис еліпса.

11. Дайте означення гіперболи, асимптот і директрис гіперболи.

12. Дайте означення параболи і запишіть різні канонічні рівняння параболи.

13. Яку теорему можна покласти в основу означення кривих другого порядку?

14. Які формули виражають прямокутні координати через полярні? Як з них дістати обернені формули?

15. Дайте означення рівняння даної лінії L в полярній системі координат.

4.9 Завдання для самостійної роботи

Зміст роботи

4.1.  Дано чотири вершини тетраедра АВСD: А(х_А, у_А, z_А),      В(х_В, у_В, z_В), С(х_С, у_С, z_С), D(х_D, у_D, z_D).

1.  Скласти рівняння площини, що проходить через ребро АВ і паралельна до осі ОУ.

2.  Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А, В і С.

3.  Знайти відстань точки D до площини АВС.

4.  Знайти кут між площинами АВС і ОХУ.

5.  Знайти лінію перетину площини АВС з координатною площиною ОХУ.

6.  Скласти рівняння площини, якщо точки А і В симетричні відносно неї.

7.  Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А і В та знайти координати її напрямного вектора .

8.  Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку D і паралельна до прямої АВ.

9.  Скласти рівняння прямої, що проходить через точку D та перпендикулярна до площини АВС.

10. Знайти проекцію точки D на площину АВС.

11. Знайти кут між ребром CD і граню АВС тетраедра АВСD.

12. Побудувати тетраедр АВСDв декартовій системі координат простору ОХУZ.

4.1. ВАРІАНТИ

№№ п/п	А			В			С			D
	ХА	УА	ZА	ХВ	УВ	ZВ	ХС	УС	ZС	ХD	УD	ZD
4.01	3	1	4	-1	6	1	-1	1	6	0	4	-1
4.02	3	3	9	6	9	1	1	7	3	8	5	8
4.03	3	5	4	5	8	3	1	9	9	6	4	8
4.04	2	4	3	7	6	3	4	9	3	3	6	7
4.05	9	5	5	-3	7	1	5	7	8	6	9	2
4.06	0	7	1	4	1	5	4	6	3	3	9	8
4.07	5	5	4	3	8	4	3	5	10	5	8	2
4.08	6	1	1	4	6	6	4	2	0	1	2	6
4.09	7	5	3	9	4	4	4	5	7	7	9	6
4.10	6	6	2	5	4	7	2	4	7	7	3	0
4.11	1	1	1	-1	2	4	2	0	6	-2	5	-1
4.12	0	5	0	2	3	-4	0	0	-6	-3	1	-1
4.13	0	0	6	4	0	-4	1	3	-1	4	-1	-3
4.14	-5	6	-1	6	-5	2	6	5	1	0	0	2
4.15	2	-5	3	3	2	-5	5	-3	-2	-5	3	2
4.16	6	0	4	0	6	4	4	6	0	0	-6	-4
4.17	3	2	4	2	4	3	4	3	-2	-2	-4	-3
4.18	6	3	5	5	-6	3	3	5	6	-6	-1	2
4.19	5	-2	-1	4	0	0	2	5	1	1	2	5
4.20	4	2	5	3	0	4	0	0	3	5	-2	-4
4.21	4	0	0	-2	1	2	1	3	2	3	2	7
4.22	-2	1	2	4	0	0	3	2	7	1	3	2
4.23	1	3	2	3	2	7	4	0	0	-2	1	2
4.24	3	2	7	1	3	2	-2	1	2	4	0	0
4.25	3	1	-2	1	-2	1	-2	1	0	2	2	5
4.26	1	-2	1	3	1	-2	2	2	5	-2	1	0