Математика \ Высшая математика

Векторний добуток векторів та його властивості. Аналітична геометрія в просторі та на площині (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 7

Якщо систему координат вибрати так, щоб вісь ОХ проходила через фокус F перпендикулярно до директриси, то координати фокуса можна записати у вигляді , а рівняння директриси – у вигляді , де р – відстань від фокуса до директриси, яка називається параметром параболи. Таким чином, у цьому випадку канонічне рівняння параболи має вигляд

у² = 2рх (10) (див. рис. 19)

Рисунок 17 Рисунок 18 Рисунок19

Теорема. Якщо r – відстань від довільної точки кривої другого порядку до якого-небудь фокуса (MF), d – відстань від тієї ж точки до відповідної цьому фокусу директриси (МК), то відношення є стала величина, що дорівнює ексцентриситету кривої, тобто

(11)

При цьому 1) якщо Е < 1, то крива є еліпс,

2) якщо Е > 1, то крива є гіпербола,

3) якщо Е = 1, то крива – парабола.

Приклад. Дано рівняння кривої другого порядку

1. Звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку.

2. Відшукати формули перетворення координат від старої системи ОХУ до нової системи О₁ХУ.

3. Знайти координати центра кривої в старій системі та визначити назву цієї кривої.

4. Визначити форму та розміщення лінії другого порядку в декартовій системі координат на площині ОХУ.

5. Знайти ексцентриситет та рівняння директрис і асимптот (якщо вони є).

6. Побудувати криву 2^го порядку у старій системі координат ОХУ.

Розв’язання.

1. Виділимо повні квадрати змінних Х та У в лівій частині даного рівняння.

2(х² – 2х) + 3(у² + 4у) + 2 = 0

2(х² – 2х + 1) – 2 + 3(у² + 4у + 4) – 12 + 2 = 0

2(х - 1)² + 3(у + 2)² = 12

(1)

2. Перенесемо початок координат у точку О₁(1, -2) і позначимо координати нової системи О₁ХУ:

Х = х – 1, У = у – 2 (2)

3. Отримаємо канонічне рівняння кривої другого порядку, яка називається еліпсом.

(3), в = 2.

4. ,

Таким чином, координати фокусів F₁ і F₂ еліпса запишемо у новій системі координат і .

5. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані між фокусами до довжини його більшої осі .

Тобто ,

Рівняння директрис запишемо у вигляді

або , , , тобто дві прямі, перпендикулярні до більшої осі еліпса (див. рис. 20).

Перевірка.

, де

Рисунок 20

4.7Полярна система координат на площині

Положення точки на площині можна визначити іншим чином, взявши систему координат, відмінну від декартової системи ОХУ.

Розглянемо так звану полярну систему координат, яка складається з масштабної одиниці, з однієї осі, яка називається полярною віссю, та кута повороту цієї осі, який називається полярним кутом.

Полярна вісь – це промінь ОА, який виходить з полюса О і має додатній напрямок зліва направо.

Додатній поворот полярного кута j вважається в напрямі проти руху годинникової стрілки.

Координати довільної точки площини в такій системі мають вигляд М(), тобто точка цілком визначається двома координатами: відстанню точки М від полюса О, або полярним радіусом, яку вважають першою координатою, і полярним кутом j, який вважають другою полярною координатою.

Для того, щоб існувала взаємно однозначна відповідність між множиною точок площини і множиною пар чисел (), треба розглядати лише так звані головні значення полярних координат, тобто , .

Запишемо формули перетворення, коли полюс полярної системи суміщується з початком декартової системи координат, полярна вісь ОА – з додатною піввіссю абсцис ОХ, а масштабна одиниця однакова в обох системах, кут між полярною віссю і віссю ординат ОУ дорівнює (див. рис. 21).

(1)

Формули (1) реалізують перехід від полярних координат () до декартових координат (х, у).

Рисунок 21

З них можна дістати і обернені формули, які виражають полярні координати через прямокутні декартові координати, а саме:

, (2)

Для того, щоб знайти j в (2), треба врахувати збіг знаків х і , а також у і . Тоді матимемо перехід від (х, у) до ().

Лінія в полярній системі координат задається рівнянням (3), яке зв’язує між собою полярні координати точок, що належать цій лінії.

Лінію легше будувати в полярних координатах, якщо вона задається рівнянням у вигляді функції

(4),

де аргументом є полярний кут, тобто друга полярна координата.

В цьому випадку лінію можна побудувати за допомогою точок, надаючи аргументу значення через певний проміжок, наприклад через , чи , обчислюючи відповідні значення полярного радіуса та використовуючи горизонтальну таблицю: