Методи математичної фізики в описі електромагнітного поля

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………………...2

1.Елементи теорії поля в методах математичної фізики…………………..3

1)характеристики скалярного поля…………………………………………….3

а)градієнт скалярного поля………………………………………………….  3

б)оператор  (набла)…………………………………………………………4

в)лапласіан функції…………………………………………………………...5

2)характеристики векторного поля…………………………………………….6

а)дивергенція і потік………………………………………………………….6

б) теорема Гаусса-Остроградського………………………………………..8

в)ротор векторного поля і циркуляція по заданому контуру……………..11

г)теорема Стокса..............................................................................................13

3)типи векторних полів........................................................................................15

а)потенціальне векторне поле........................................................................15

б)соленоїдальне (трубчасте) векторне поле..................................................15

в)лапласівське (гармонічне) векторне поле..................................................16

4) основна задача векторного аналізу................................................................16

5)диференціальні операції другого порядку.....................................................18

2.Електромагнітне поле через призму теорії поля.....................................19

1)закон збереження електричного заряду.........................................................19

2)закон електромагнітної індукції......................................................................19

3)рівняння магнітостатики..................................................................................20

4)рівняння Максвелла..........................................................................................21

5)електромагнітні хвилі.......................................................................................24

Висновок...........................................................................................................................26

Список використаної літератури....................................................................................27

Вступ

Коло питань, якими займається математична фізика, надзвичайно велике. Сюди можна віднести явища, які вивчаються в гідродинаміці, електродинаміці, теорії пружності, теплопровідності, квантовій механіці, фізиці ядра. Але характерним є те, що при цьому математичні задачі складаються з багатьох загальних елементів, описуються одними математичними законами, які і складають предмет математичної фізики.

Метою написання даної курсової роботи було показати „фізичний зміст” математичних залежностей, що використовуються в описі фізичних полів, зокрема електромагнітного поля.

Електромагнітне поле – це особливий вид матерії, через який здійснюється електромагнітна взаємодія, що є однією з чотирьох типів взаємодій у природі. Внаслідок того, що вона на багато порядків інтенсивніша від гравітаційної та слабкої та є далекодійною, на противагу сильній взаємодії, зустрічається найчастіше і багата проявами в мега-, макро- і мікросвіті.

Різноманітність і багатство проявів електромагнітних явищ потребують їхнього пояснення на основі певних узагальнюючих теоретичних уявлень та математичних закономірностей, які є важливим інструментом пізнання законів природи.

Звісно, обсяг курсової роботи не дозволяє охопити всі можливості матодів математичної фізики при розгляді данного питання, тому в роботі висвітлено основні моменти, що стосуються електромагнітного поля. Зокрема значення введення таких характеристик векторних полів, як ротор і дивергенція, використаня їх в класичній теорії електромагнітного поля, основоположником якої був видатний фізик-теоретик Дж. Максвелл (1831-1879), та класифікації окремих випадків електромагнітного поля.

Відомо, що електромагнітне поле описується системою рівнянь Максвелла,

,

,

,

;

які доповнюються рівняннями

,  ,  ,

 що була отримана експеримептально і ”вдосконалена” саме завдяки методам математичної фізики.

Так з рівнянь видно нерозривність і матеріальну єдність електричного і магнітного полів, отримано математичний опис та обгрунтування електромагнітних хвиль, знайдено швидкість їх поширення у вакуумі та середовищі тощо.

Елементи теорії поля в методах математичної фізики

Характеристики скалярного поля

Скалярним полем називають частину простору (увесь простір), у кожній точці якого відповідно до певного закону  задано числове значення деякої величини.

У загальному випадку скалярне поле характеризують деякою функцією кординат точок простору f(x,y,z) ,яку називають функцією поля. Вважатимемо, що функція поля взагалі однозначна, неперервна і диференційована.

Градієнт скалярного поля

Нехай  та -дві нескінченно близькі точки простору; вектор , що з’єднує ці точки, позначимо через :

.                                                (1.1)

Нехай у просторі задано скалярне поле . Основну характеристику скалярного поля – градієнт – введемо, розглядаючи диференціал функції поля:

+ +.                                             (1.2)

Три величини ,, утворюють, очевидно, вектор, бо при повороті системи координат OXYZ ці величини – різниці координат точок  та  М – перетворюються за тим же законом, що й координати точки.

(Координати довільної точки М простору в системах координат  і  зв’зані відомим співвідношенням

,

,(і=1,2,3),

де  - координати точки М відносно системи , а  - відносно ; . Ці формули є відправними для аналітичного означення вектора).

Ліва частина (1.2) не змінюється при повороті осей OXYZ (інваріантна відносно повороту осей), бо вона є приростом функції поля при переході від точки М до точки .

Тому з формули (1.2) випливає, що три числа ,, разом утворюють вектор. Цей вектор, визначений у кожній точці скалярного поля, називають градієнтом поля і позначають символом gradf:

gradf=.                                        (1.3)

Формулу (1.2) для диференціала функції поля на підставі (1.3) та (1.1) перепишемо у вигляді:

gradf,                                               (1.4)

тобто як скалярний добуток двох векторів, один з яких  gradf, а другий – нескінченно мале переміщення .

З (1.3) видно, що абсолютну величину градієнта можна обчислити за формулою:

.                                (1.5)

Як вектор, градієнт не залежить від орієнтації осей декартової системи координат. З поворотом осей системи координат OXYZ змінюються тільки складові градієнта  ,,, але сам векторgradf не змінюється.

Оператор  (набла)

Для спрощення обчислень Гамільтон увів для користування оператор  (читається „набла”) такого виду:

=.                                          (1.6)

Властивості цього оператора здебільшого такі ж, як і властивості вектора. Тому оператор  записують у вигляді

=,                                           (1.7)

і ,, розглядають як “складові вектора” , які за означенням дорівнюють

,,.                                        (1.8)

Тоді градієнт скалярного поля можна розглядати як добуток символічного вектора  на скаляр f . Справді,

()f=.                (1.9)

Але за означенням ,,, тому

,

або остаточно