Физика \ Методы математической физики

Методи математичної фізики в описі електромагнітного поля, страница 5

Цю тотожність широко використовують в теорії електромагнітного поля.

З формули (5.1) видно, що лапсасіан вектора дорівнює

=-, (5.2)

тоді як лапсасіан скаляра

=. (5.3)

Електромагнітне поле через призму теорії поля

Закон збереження електричного заряду

Закон збереження електричного заряду можна виразити такою рівністю:

=, (6.1)

де - об’ємна густина електричного заряду; - густина струму; вектор за напрямом такий самий, як напрям струму; за абсолютною величиною вектор дорівнює силі струму, що припадає на одиничну площинку, розміщену перпендикулярно до напрямку руху зарядів.

За теоремою Гаусса-Остроградського можна записати

=. (6.2)

Оскільки об’єм V в цій рівності цілком довільний, можна ототожнити підінтегральні вирази

=. (6.3)

Отже, використавши теорему Гаусса-Остроградського, отримали закон збереження електричного заряду в диференціальній формі.

Закон електромагнітної індукції

Цей закон є узагальненням відомих експериментів Фарадея по збудженню струму в замкнутому провідному контурі при зміні магнітного потоку , що пронизує контур:

всяка зміна магнітного поля збуджує в просторі електричне поле, циркуляція напруженості якого по довільному замкнутому контуру дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через цей контур.

Закон Фарадея виражають формулою:

, (6.4)

де Е – циркуляція вектора електричної напруженості по контуру С, виміряна у вольтах, , а Ф – магнітний потік через контур С, виміряний у веберах, тобто потік вектора магнітної індукції через поверхню S: .

Підставляючи Ф і Е в (6.4), дістанемо:

=. (6.5)

Знак мінус означає, що напрям електрорушійної сили індукції (технічний напрям індукційного струму в провідному контурі) утворює з напрямом зростання потоку індукції через контур гвинт з лівою різзю.

За формулою Стокса перетворимо циркуляцію в потік і перепишемо формулу (6.5) так:

=. (6.6)

Ця рівність справедлива для будь-яких поверхонь S ; тому

. (6.7)

Напрям проектування може бути довідьним, так що з рівності проекцій векторів (на довільний напрям) випливає також рівність самих векторів:

. (6.8)

Це так зване друге рівняння Максвела теорії електромагнітного поля. Рівність (6.8) виконується в кожній точці поля. Друге рівняння Максвела є одним з основних рівнянь теорії електромагнітних процесів.

Рівняння магнітостатики

Нехай в деякому середовищі задано магнітне поле, утворене постійними магнітами або постійним електричним струмом, - вектор магнітної напруженості; - густина струму, - коефіцієнт магнітної проникності середовища. Напрям вектора визначається правилом гвинта з правою різзю.

В якості відправних пунктів при складанні диференціальних рівнянь, яким повинен задовольняти вектор , візьмемо дві рівності, які можна вважати експериментально перевіреними:

=, (7.1)

де с – електродинамічна стала.

Перше з цих рівнянь є узагальненим законом Біо-Савара-Лапласа, друге – закон збереження силових ліній вектора (опис в даному і наступному розділах зроблено в системі одиниць СГС), утвореного векторм та додатковим вектором, що отримується за рахунок намагнічування середовища. Використавши формули Стокса та Остроградського–Гаусса, отримаємо так звану систему рівнянь магнітостатики:

,. (7.2)

У випадку, якщо =0 магнітне поле буде потенціальним = і потенціальна функція u буде задовольняти рівняння , яке у випадку однорідного середовища співпаде з рівнянням Лапласа:

. (7.3)

Можна показати, що поле магнітної індукції, яке описується законом Біо-Савара-Лапласа

, (7.4)

є соленоїдальним з векторним потенціалом , де - магнітна стала.

Досить переконатись, що =. Маємо

==.

Але за формулою (2.23)

===,

(оскільки густина струму в елементі dV не залежить від координат точки спостереження, в якій визначаються ,, і тому ) тому

==,

що й потрібно було показати.

Рівняння Максвелла

Нехай в деякому середовищі дано змінне магнітне поле, - напруженість цього поля, і - діелектрична і магнітна проникності середовища. В силу експериментально встановленого закону Фарадея зміна магнітного поля індукує напруженість електричного поля. Нехай - напруженість електричного поля.