Понятие локальных систем автоматики. Общие подходы к проектированию, страница 5

,                                                                                                 (95)

,                                                                                                    (96)

.

С помощью шаблонов находят амплитуды и частоты автоколебаний в нелинейных системах и строим области устойчивых и неустойчивых состояний по параметрам линейной и нелинейной части.

Существует два типа двухзначных нелинейностей: пассивные и активные.

Под пассивными – понимается такие двузначные нелинейности, которые за один период входного сигнала нелинейная характеристика обходится против часовой стрелки. В этом случае в выходном сигнале наблюдается фазовое запаздывание. Если обход нелинейной характеристики проходит по часовой стрелке, то двузначная нелинейность является активной и в выходном сигнале имеет место фазовое опережение. Активные нелинейности применяют в устройствах коррекции СА для обеспечения устойчивости. Реализация таких устройств может быть выполнена на электронных элементах или в виде рабочей программы.

Рассмотрим гармоническую линеаризацию нелинейности, когда на их вход поступает сигнал вида:

,                                                                                                       (97)

где    - постоянная составляющая основного сигнала.

,                                                                                    (98)

 - функция смещения входного сигнала;

 - коэффициент гармонической линеаризации.

.                                                                                                                      (99)

 

Рисунок 28

,

,  (101)

при  - для однозначной нелинейности со смещением.

Для двухзначной нелинейности

 

Рисунок 29

,                                                           (102)

,                                                            (103)

.                                                                                                       (104)

В нелинейных системах при недостаточном уровне подавления линейной части высших гармоник, необходимо учитывать дополнительные гармонические составляющие – автоколебания. При этом эквивалентная передаточная функция зависит от двух сигналов: частотного или многочастотного сигналов. Использование таких передаточных функций в нелинейных системах целесообразно, если требуется оценить влияние высших гармоник на появление автоколебаний.

Например: если в системе на первой гармонике открывают автоколебания, а действие третей появится.

Пусть на вход двузначной нечетной нелинейности поступает сигнал:

,                                                                              (106)

где    - сдвиг фазы третьей гармоник.

Тогда на выходе

.                                                                         (107)

Пусть ,

,                  (108)

где    и  - коэффициенты линеаризации по первой и третьей гармонике.

.                                                                         (109)

Статическая линеаризация существенных нелинейных элементов

В системах в реальных условиях эксплуатации на вход существенных нелинейных элементов, наряду с детерминированием, поступают и случайные сигналы.

Существенные строгие методы анализа нелинейных систем со случайными сигналами требует учета закона распределения случайных величин, что приводит к громоздким вычислениям, затрудняющим процесс проектирования. Поэтому в инженерной практике принять использование приближенными методами. Методы статической линеаризации, сущность которого состоит в замене нелинейного элемента – статической линеаризованным. То есть однозначно нечетная нелинейная характеристика заменяет линеаризованность. 

,                                                                                                               (110)

,                                                                                                     (111)

где    - коэффициент по математическому ожиданию;

 - математическое ожидание;

 - коэффициент, при центральной случайной составляющей.

,                                                                                                          (112)

где    - подбирается таким образом, чтобы максимально приблизить значение  к .

При статической линеаризации существует два подхода определения коэффициентов статической линеаризации.

1.

,                                                                                                    (113)

.                                                                              (114)

2. Коэффициенты статической линеаризации выбирают из условия минимума квадрата ошибки от замены  на .

,                                                                                                 (115)

где    и  находятся из уравнения.

,                                                                               (116)

Пример.

 

Рисунок 30

,                      (117)

.

                                                                                                                                         (118)

Совместная гармоническая и статическая линеаризация

При поступлении на вход нелинейного элемента сумма двух сигналов периодического случайного:

.                                                                                       (119)

Коэффициенты линеаризации являются периодическими функциями времени, то есть

.                                                                                                             (120)

Применить выражение (120) совместную гармоническую и статическую линеаризацию, получит приблизительную зависимость:

,                                       (121)

,                                                                (122)

,                                                     (123)

.                                                     (124)

Выражение (110), (114), (115) представляет собой усредненные за период  значение гармонической составляющей передаточной функции и статических коэффициентов.