Решение заданий на усиление излучения, лазерную генерацию и лазерные резонаторы

Решение

1.  Определение коэффициентов Эйнштейна

 Согласно формулам (27) и (28) работы [1], коэффициенты Эйнштейна связаны между собой соотношениями

                                 ,     ,                                                                  (1)

где  и  – статистические веса (факторы вырождения) уровней 2 и 1 соответственно (Рис. 1),  – постоянная Планка, c – скорость света в вакууме,  – циклическая частота перехода 2 ® 1. Поскольку по условию задания уровни не вырожденны, то следует положить .

Поступим следующим образом: вначале определим коэффициент , а через него - коэффициенты B₂₁ и B₁₂. Согласно работе [4],

                      ,                                                                  (2)

где e – заряд электрона, m₀ – его масса покоя,  и  – соответственно частота и длина волны перехода 2 ® 1,  – сила осциллятора этого перехода. Формула (2) записана в системе СГСЭ, поэтому  должна выражаться в сантиметрах. Подставляя в (2) значения величин, получаем

                                                                                                  (3)

Из (1) вычисляем B₂₁ и B₁₂:

                                                                    (4)

2.  Определение интенсивности насыщения среды

Согласно формуле (114) работы [1], интенсивность насыщение системы двухуровневых атомов при точном резонансе и в стационарном случае

                                                          ,                                                                  (5)

где  – однородная ширина спектральной линии перехода,  – время релаксации системы,  и  – скорости безизлучательной релаксации системы соответственно сверху вниз и снизу вверх. Поскольку в данном случае рассматриваемый переход имеет длину волны, лежащую в оптическом диапазоне, т. е. , где  – постоянная Больцмана, а Т – температура газа, то слагаемым  можно пренебречь. Кроме того, по условию задачи форма спектральной линии перехода определяется ударным уширением, следовательно скорость безызлучательной релаксации системы сверху вниз  будет определяться временем свободного пробега атомов и будет превышать скорость спонтанного распада верхнего уровня, т.е. >>. Таким образом, можно положить  и записать     

                                           .                                                                  (6)

Чтобы  выразить  в обратных сантиметрах, следует в (6) положить , где  имеет размерность см^-1. Тогда

.                                                                  (7)

3.  Определение показателя линейного усиления среды

В качестве исходного выражения, описывающего показатель линейного усиления, можно воспользоваться формулой (120) работы [1]:

                                                 ,                                                                  (8)

где  – инверсия среды в начальный момент времени (до воздействия излучения). Переписывая эту формулу в удобный для расчета вид, получаем

                                                                                                (9)

4.  Определение зависимости выходной интенсивности сигнала от длины усилителя

В данном случае необходимо воспользоваться решением (139), приведенным в работе [1]:

                      ,                                                                 (10)

где  и  – значения отношения соответственно на входе и на выходе усилителя. Решение (10) представлено в трансцендентной форме, следовательно, выразить из него  в явном виде не представляется возможным. Поэтому для нахождения зависимости  необходимо воспользоваться численным расчетом на компьютере. Используя, например, пакет программ MatLab, можно составить следующую программу этого расчёта:

% Определение зависимости выходной интенсивности сигнала

% от длины усилителя

Go=1.083*10^1; Is=1.03*10^5; B=10^(-4);

%-- На нашем промежутке --%

Iv=10^(-4):51400:5.14*(10^7);

Io(1:length(Iv))=10^(-10);

Jv=Iv./Is; Jo=Io./Is;

L=(log(Jv./Jo)+(Go./B).*log(abs((Go-B.*(1+Jo))./(Go-...

B.*(1+Jv)))))./(Go-B);

plot(L,Jv)

grid on; xlabel('L'); ylabel('Jv');

%-- в начале --%

Iv=10^(-2):(10^2):1.115*10^(4);

Io(1:length(Iv))=10^(-10);

Jv=Iv./Is; Jo=Io./Is;

L=(log(Jv./Jo)+(Go./B).*log(abs((Go-B.*(1+Jo))./(Go-...

B.*(1+Jv)))))./(Go-B);

plot(L,Jv)

grid on; xlabel('L'); ylabel('Jv');

%-- до насыщения --%

Iv=10^(-2):(10^5):1.115*10^(10);

Io(1:length(Iv))=10^(-10);

Jv=Iv./Is; Jo=Io./Is;

L=(log(Jv./Jo)+(Go./B).*log(abs((Go-B.*(1+Jo))./(Go-...

B.*(1+Jv)))))./(Go-B);

plot(L,Jv)

grid on; xlabel('L'); ylabel('Jv');

Результат расчета представлен на рис. 2 и рис. 3 в виде графиков :

Рис. 2. Зависимость интенсивности выходного сигнала усилителя от его длины

Кривая  переходит в режим насыщения при  см. Это показано на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость интенсивности выходного сигнала усилителя от его длины

5.  Определение коэффициента усиления среды

Коэффициент усиления среды определяется следующим выражением:

                                          (11)

где  – показатель линейного усиления,  – нерезонансные потери среды,  – длина резонатора. Подставляя значения соответствующих величин, получаем

                                        (12)

6.  Выводы по заданию №1

При выполнении задания №1 получены следующие результаты:

1. В разделе 1 определены коэффициенты Эйнштейна: ; .