Среднеквадратичная аппроксимация функций. Вариант 6

Министерство образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

  Вычислительная математика

РАСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКАЯ  РАБОТА

на тему

«СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ»

Выполнила:                                                                                                              Проверил:

студентка 2 курса АВТФ                                                                                       Соловьёв А. Л.

группы АА-16

вариант 6

Мокроусова В. В.

Новосибирск

2003 г.

1.Постановка задачи

На интервале  произвести аппроксимацию реализации функции , заданной на  с шагом  (в таблице функция  приведена в аналитическом виде), обобщенным рядом Фурье по системе ортогональных (ортонормированных) на  с весом  базисных функций .

Определить на  погрешности аппроксимации.

Проанализировать влияние числа  учитываемых членов ряда Фурье на точность аппроксимации изменяя параметр  от  до с шагом .

Варианты задания приведены в табл.1

Табл.1  

№ п/п	Вид аппроксимируемой функции	Интервал	Шаг	Базисные функции
6		[0,75; 2,35]	0,025	Чебышева

2. Основные теоретические положения

Произвольную, кусочно-непрерывную функцию   на  интервале  приближенно можно представить в виде обобщенного ряда Фурье с конечным числом членов

                                                                                                         (1.1)

где , - система ортогональных с весом  на  базисных функций, а

                                       (1.2)

коэффициенты Фурье.

Таким образом, чтобы решить задачу аппроксимации функции   на  , необходимо при заданном базисе , вычислить коэффициенты Фурье  согласно (1.2) и восстановить оценку  аппроксимируемой функции  по выражению (1.1).

Ниже приведены ортогональные  (ортонормированные) с весом  на  базисные функции, используемые при решении задачи аппроксимации.

Полиномы  Лежандра, ортогональные на   с весом  , удобно вычислять на ЭВМ по рекуррентной формуле:

                                (1.3)

     .

Нормирующий множитель  полиномов Лежандра имеет вид:

                                                     (1.4)

и ортонормированные полиномы Лежандра могут вычисляться как

                                                            (1.5)

Полиномы Чебышева первого рода, ортогональные на   с весом 

                                                                                             (1.6)

также могут вычисляться по рекуррентной формуле:

                                                                (1.7)

          .          

Нормирующий множитель  полиномов Чебышева первого рода

                                                                                                                                                                     (1.8)

а ортонормированные полиномы Чебышева первого рода определяются в виде

                                                            .                                                            (1.9)

При вычислении на ЭВМ коэффициентов  ряда Фурье по полиномам Чебышева в моменты времени t = a  и  t = b подкоренное выражение в весовой функции  обращается в нуль. Чтобы избежать операции деления на нуль, в подкоренное выражение можно ввести  некоторый малый параметр  (например , где  - шаг дискретизации). Однако введение параметра  приводит к дополнительной погрешности в вычислениях коэффициентов Фурье, что в конечном итоге сказывается на погрешности аппроксимации. Причем, как показывает практика, погрешности, порожденные параметром , оказываются соизмеримыми с погрешностями от отбрасывания остаточного члена ряда Фурье при L = 3, 4 при аппроксимации на  полупериода синусоиды.

Тригонометрические функции, ортонормированные на  с весом =1

                                                                  (1.10)

 образуют гармонический ряд Фурье, который представляется в виде

                        ,                           (1.11)

  где

    .            (1.12)

Функции Лагерра, ортонормированные на   с весом =1, могут быть вычислены по рекуррентной формуле

 ,                    (1.13)

               

Параметр , фигурирующий в выражениях функций Лагерра, необходимо выбирать из условия сохранения их свойств при аппроксимации не на бесконечном, а на конечном интервале времени, что имеет место при практическом использовании этих функций. Речь идет о количестве нулей функций Лагерра на заданном интервале аппроксимации, а именно, если  имеет  нулей на , то и на  она должна иметь  нулей.

         Экспериментально было установлено, что параметр следует выбирать в виде

                                                 (1.14)

При этом амплитуда L-й функции Лагерра в точке T будет составлять не более 0,1 от максимального на  значения этой функции.

При анализе погрешностей аппроксимации следует иметь в виду, что при выполнении данной работы на ЭВМ результирующая погрешность включает в себя две составляющие: методическую, возникающую из-за отбрасывания остаточного члена

и вычислительную  (погрешность округления на ЭВМ). Исходные данные полагаем заданными точно, поэтому погрешность задания исходных данных отсутствует.

Точность аппроксимации   на  обобщенным рядом Фурье  следует оценивать посредством следующих погрешностей:

- максимальной на  абсолютной и относительной

     ;                                       (1.15)

- среднеквадратичной на  абсолютной и относительной

     .                                 (1.16)

3. Листинг программы:

      program kursovaia rabota

       integer n,l

       DIMENSION y(300),ro(300),y1(300),c(10)

       dimension al3(3,300),al4(4,300),al5(5,300),al6(6,300)

       DIMENSION yy(300),e(300),al7(7,300)

       real a,b,dt,x,em,es,ep,emo,eso,epo

                 open (1,file='kto.txt')

                 write (1,*)'Студентка: Мокроусова Вера Валерьевна'

                 write (1,*)'Группа: АА-16'

                 write (1,*)'Вариант N6'

                 write (1,*)'Исходные данные: a=0.75;b=2.35;dt=0,025;'

                 write (1,*)'Аппроксимируемая функция: COS(2*t);'

                 write (1,*)'Базисные функции Чебышева.'

   a=0.75

       b=2.35

       dt=0.025

       n=(b-a)/dt+1

       do 1 i=1,n

        x=a+dt*(i-1)

        y(i)=cos(2*x)

1      continue

       OPEN(8,FILE='1.txt')

       OPEN(9,FILE='c.txt')

       write(8,*)' L   Emo         Eco'

       do 3 l=3,7

        if(l.EQ.3)goto 33

        if(l.EQ.4)goto 34

        if(l.EQ.5)goto 35

        if(l.EQ.6)goto 36

        if(l.EQ.7)goto 37

33     OPEN(7,FILE='3.txt')

       CALL N1Ypth(a,b,n,dt,l,ro,al3)

       CALL N1YKF(n,dt,l,y,y1,al3,ro,c)

       CALL N1YWst(n,l,c,al3,yy)

       CALL N1YEEE(y,yy,n,e,em,es,ep,emo,eso,epo)

       goto 30

34     OPEN(7,FILE='4.txt')

       CALL N1Ypth(a,b,n,dt,l,ro,al4)

       CALL N1YKF(n,dt,l,y,y1,al4,ro,c)

       CALL N1YWst(n,l,c,al4,yy)

       CALL N1YEEE(y,yy,n,e,em,es,ep,emo,eso,epo)

       goto 30

35     OPEN(7,FILE='5.txt')

       CALL N1Ypth(a,b,n,dt,l,ro,al5)

       CALL N1YKF(n,dt,l,y,y1,al5,ro,c)

       CALL N1YWst(n,l,c,al5,yy)

       CALL N1YEEE(y,yy,n,e,em,es,ep,emo,eso,epo)

       goto 30

36     OPEN(7,FILE='6.txt')

       CALL N1Ypth(a,b,n,dt,l,ro,al6)

       CALL N1YKF(n,dt,l,y,y1,al6,ro,c)

       CALL N1YWst(n,l,c,al6,yy)

       CALL N1YEEE(y,yy,n,e,em,es,ep,emo,eso,epo)

       goto 30

37     OPEN(7,FILE='7.txt')

       CALL N1Ypth(a,b,n,dt,l,ro,al7)

       CALL N1YKF(n,dt,l,y,y1,al7,ro,c)

       CALL N1YWst(n,l,c,al7,yy)

       CALL N1YEEE(y,yy,n,e,em,es,ep,emo,eso,epo)

       goto 30

30      write(8,11)l,emo,eso

        write(9,*) 'L=',l

        write(9,12) (c(k),k=1,l)