Частотные характеристики и операторные функции электрических цепей, страница 9

Рассмотрим, по входному сигналу, два частных случая.

А. Пусть входной сигнал - ступенчатое напряжение амплитудой Е (рис.6.9) . Используя классический метод, определим отклик цепи.

2)  Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду:.

2) Запишем общее решение.

.

3) Найдем вынужденную составляющую общего решения - .

Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, который имеет место когда, tà ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω=0,т.к.,=cosωt\ _(ω=0) . При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (Х_L= ωL), а емкости – разрыву цепи (Х_С= (ωС)^-1).

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω=0 (см. рис.6.16а). Из схемы следует, что u_2(∞)=Е.

4) Найдем показатель экспоненты -  р₁.

Коэффициенты р находят, как корни характеристического уравнения

RCр₁+1=0. Отсюда р ₁= - (RC)^-1.

5) Найдем постоянную интегрирования A₁.

Ее находим из общего решения при tà0 и схемы замещения исходной цепи при tà0, ωà ∞. Она приведена на рис. 6.16б. Запишем уравнение откуда и найдем А₁

,   А₁= - Е.

6) Запишем общего решение:

.

Выходное напряжение представляет собой импульс, нарастающий по экспоненте, который характеризуется двумя параметрами:

1. Е – амплитуда импульса;

2. τ - постоянная времени цепи.

Определим выходной сигнал при t=τ.

Отсюда следует, что постоянная времени это время за которое импульс возрастая по экспоненциальному закон изменяется от 0 до уровня 0,63 от своего стационарного значения Е.

 Иногда пользуются третьим параметром. t_уст. – время установления выходного напряжения, это время за которое сигнал достигает свое стационарное значение, с заданной точностью от амплитуды импульса. Так время установление на уровне 0,9 и 0,95 составляет t_уст.0.9 =2,3τ; t_уст.0.95 =3τ.

Б. Пусть входной сигнал одиночный прямоугольный импульс (рис.6.18) амплитудой Е и длительностью t_u. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как

.

Зная отклик на ступенчатый сигнал, и используя принцип суперпозиции можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала:

На рис 6.19 показаны три временных диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и t_и.

 Аналогичными свойствами обладает цепь, состоящая из RL элементов, приведенная на рис.6.20. Она называется интегрирующая RL-цепь.

6.6. Пример расчета переходной характеристики двухконтурной цепи

Дана двухконтурная цепь (рис.6.21), рассчитать ее переходную характеристику .

Задачу будем решать классическим способом. За переменную в составляемом уравнении выбираем переменную, характеризующую энергетическое состояние цепи, которая наиболее просто связана с выходным сигналом.

Такой переменной является ток через индуктивность i_L, он связан с выходным напряжением соотношением

.

1) составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду. При составлении уравнений относительно тока i_L=i₂ воспользуемся, метод контурных токов (здесь i₁ и i₂ – токи соответственно первого и второго контура) и составим два уравнения для первого и второго контура

 

Из второго уравнения найдем ток первого контура  и подставим его выражение в первое уравнение, полученное выражение поделим на L и продифференцируем по времени

;

введем обозначения (RC)^-1=2β, (LC)^-1=ω₀ , получим

2) Запишем общее решение относительно тока второго контура и входного напряжения.

;

3) Найдем вынужденную составляющую общего решения - .

Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, который имеет место когда, tà ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω=0,т.к.,=cosωt\ _(ω=0) . При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (Х_L= ωL), а емкости – разрыву цепи (Х_С= (ωС)^-1).

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω=0 (см. рис.6.22а). Из схемы следует, что i_2(∞)=0.

4) Найдем показатели экспоненты -  р₁ и p₂.

Коэффициенты  находят, как корни характеристического уравнения:

5)  Найдем постоянные интегрирования А₁, А₂.

Их находят из начальных условий, т.е. при t=+0, для искомой функции и ее производных . Значения токов и напряжений в начальный момент времени после коммутации (при t=+0) определяют из схемы замещения исходной цепи (рис.6.22б), образованной после коммутации  с учетом законов коммутации, по законам Кирхгофа. При нулевых начальных условиях наличие индуктивности равносильно разрыву цепи (i_L(-0) = i_L(+0)), а емкости - короткому замыканию (u_C(-0) = u_C(+0)).

Аналогичную схему замещения можно получить, если считать что ступенчатому сигналу в начальный момент времени (t=+0) соответствует гармонический с бесконечно большой частотой (ωà∞).

Схема после коммутации (при t=+0, ωà∞) приведена на рис.6.22б, а произвольные постоянные A₁ и А₂ находят из уравнений:

 

Из этой системы мы находим

6)  Запишем общего решение относительно u_2(t):

Окончательное решение зависит от характера корней характеристического уравнения.

а) если , то решение равно сумме экспонент (рис.623а), оно не периодическое и его (режим переходного процесса) называют апериодическим.

б) если , то корни будут комплексными . В этом случае решение представляет собой гармоническую функцию времени убывающую по экспоненте (рис.6.23б). Такое решение (режим переходного процесса) называют колебательным.

в) если , то корни одинаковы. Такой режим называют критическим.

Отсюда условием критического режима

является соотношение Q=2.

6.7. Расчет переходных характеристик последовательного колебательного контура

Схема последовательного колебательного контура приведена на рис.6.24а.

Для расчета переходной характеристики установим связь между выходным u₂ и входным u₁ напряжениями, входной сигнал ступенчатым напряжением , тогда переходная характеристика h(t) находится из выражения h(t) = u_2(t)/E, где u_2(t) – выходное напряжение.