Частотные характеристики и операторные функции электрических цепей, страница 8

Последнее выражение и называется интегралом Дюамеля. Оно позволяет получить отклик на заданное воздействие в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование ведется по τ – текущее время (0<τ<t), причем выражения х'(τ) и h(t- τ) получают из выражений для х(t) и h(t) путем замены t на τ и t- τ.

6.5. Передача импульсных сигналов через простейшие цепи

Электрические цепи служат для связи различных устройств между собой, при этом обычно ставится задача неискаженной передачи сигнала. В ряде случаев электрические цепи применяют для преобразования сигналов одной формы в другую.

6.5.1. Передача импульсных сигналов через дифференцирующую цепь

Цепь, состоящая из RC элементов и приведенная на рис.6.8. называется дифференцирующей RC-цепью.

Установим связь между выходным u₂ и входным u₁напряжениями, считая входной сигнал u₁произвольным.

Используя, второй закон Кирхгофа и соотношения, устанавливающие связь, между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем

Подставим полученные напряжения в первое выражение, умножим на RC и продифференцируем один раз по времени

Если, в этом соотношение считать, что . Последнее означает, что выходной сигнал есть производная от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – дифференцирующая цепь.

Рассмотрим два частных случая.

А. Пусть входной сигнал - ступенчатое напряжение амплитудой Е (рис.6.9) . Используя классический метод, определим отклик цепи.

1)  Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду:.

2) Запишем общее решение.

.

3) Найдем вынужденную составляющую общего решения - .

Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, который имеет место когда, tà ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω=0,т.к.,=cosωt\ _(ω=0) . При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (Х_L= ωL), а емкости – разрыву цепи (Х_С= (ωС)^-1).

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω=0 (см. рис.6.10а). Из схемы следует, что u_2(∞)=0.

4) Найдем показатель экспоненты -  р₁.

Коэффициенты р находят, как корни характеристического уравнения

RCр₁+1=0. Отсюда р ₁= - (RC)^-1.

5) Найдем произвольную постоянную  A₁.

Произвольные постоянные находят из начальных условий  для искомой функции и ее производных (при t=+0). Значения токов и напряжений в начальный момент времени после коммутации (при t=+0) определяют из схемы замещения исходной цепи, образованной после коммутации, с учетом законов коммутации, по законам Кирхгофа. При нулевых начальных условиях наличие индуктивности равносильно разрыву цепи (i_L(-0) = i_L(+0)), а емкости - короткому замыканию (u_C(-0) = u_C(+0)).

Аналогичную схему замещения можно получить, если считать что ступенчатому сигналу в начальный момент времени (t=+0) соответствует гармонический с бесконечно большой частотой (ωà∞).

Для дифференцирующей RC-цепи послекоммутационная схема (при t=+0, ωà∞) приведена на рис.6.10б, а произвольную постоянную A₁ находят из уравнения:

=A₁=.

6) Запись общего решения:

.

Выходное напряжение представляет собой экспоненциальный импульс, который характеризуется двумя параметрами:

1.  Е – амплитуда импульса;

2.  τ - постоянная времени цепи. Определим выходной сигнал при t=τ.

Отсюда следует, что постоянная времени это время, за которое импульс, убывая по экспоненциальному закон изменяется от Е до уровня 0,37Е (т.е. убывает в е=2,71 раза).

 Иногда пользуются третьим параметром. t_уст. – время установления выходного напряжения, это время за которое сигнал достигает свое стационарное значение, с заданной точностью от амплитуды импульса. Так время установление на уровне 0,1 и 0,05 составляет t_уст.0.1 =2,3τ; t_уст.0.05 =3τ.

Б. Пусть входной сигнал одиночный прямоугольный импульс (рис.6.12) амплитудой Е и длительностью t_u. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как

.

Зная отклик на ступенчатый сигнал, и используя принцип суперпозиции можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала:

На рис 6.13 показаны три временных диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и t_и.

В зависимости от соотношения между τ и t_и эта схема имеет три названия.

Если: τ<<t_и - то цепь называется дифференцирующей RC-цепью (рис.6.13а).

Если: τ ≈ t_и – то цепь называется укорачивающей RC-цепью (рис.6.13б).

Если:τ>> t_и  - то цепь называется разделительной RC-цепью (рис.6.13в).

Рассмотрим процессы протекающие в цепи при воздействие на вход прямоугольного импульса при нулевых начальных условиях u_C(-0)=0.

Напряжения на элементах связаны вторым законом Кирхгофа

u₁=u_C+u_R.

При t<0, u₁=0, u_C=0, следовательно, u_R =0. Это исходное состояние.

При t=+0, u₁=Е,  u_C=0,  E=0+ u_R. Следовательно, u_R=Е. Это послекоммутационное состояние цепи.

При t>0   E= u_C+u_R. Происходит заряд конденсатора С током i_зар заряда, напряжение на нем возрастает, а на резисторе (на выходе) убывает от Е к нулю.

При t= t_и-0, E= u_C(tи),+ u_R(tи),. К моменту окончания импульса u_C= u_C(tи),  u_R=Е- u_C(tи).

При t> t_и+0 , u₁=0=u_C+u_R.. Следовательно u_R = - u_C= - u_C(tи),. Поэтому знак выходного напряжения меняется на противоположный.

При t> t_и, u₁=0 , u_R = - u_C. Происходит разряд конденсатора С током i_разр разряда, напряжение на нем убывает, убывает и напряжение на резисторе (на выходе) от - u_C(tи) к нулю.

Цепь, состоящая из RL элементов и приведенная на рис 6.14, выполняет аналогичные преобразования над входными сигналами и называется дифференцирующей RL-цепью.

6.5.2. Передача импульсных сигналов через интегрирующую цепь

Цепь, состоящая из RC элементов и приведенная на рис.6.15. называется интегрирующей RC-цепью.

Установим связь между выходным u₂ и входным u₁ напряжениями, считая входной сигнал u₁произвольным. Используя, второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем

Подставим полученные напряжения в первое выражение

.

Если R>>, то R=; или   

Последнее означает, что выходной сигнал есть интеграл от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – интегрирующая цепь.