Моделирование. Математические схемы моделирования. Основные подходы к построению математической модели системы. Дискретно детерминированные системы (F-схемы), страница 8

                                                                                  (22)

где   и  - функции, зависящие от  и , сосредоточенных в точках:

То уравнение (21) можно записать в следующим образом:

                                          (23)

Т.е. функции Грина  - является решением краевой задачи, при описанных выше условиях, и, следовательно, описывает реакцию распределенной системы с нулевыми начальными и однородными граничными условиями в любой точке  и любой момент времени  на точечное импульсное воздействие вида  функции, приложенной к произвольной, но фиксированной точки  в момент времени .

Поэтому функцию Грина называют фундаментальным решением уравнения (17) функцией точечного источника, функцией влияния, импульсной переходной функцией.

Аргументы  и  - входные аргументы,  и  - выходные аргументы.

В частных случаях функция Грина может быть найдена в явном виде, путем непосредственного решения краевой задачи.

В общем случае, при невозможности определения аналитического решения, используются численные методы.

Стандартные формы и стандартизирующие функции

В теореме СРП можно подобрать такую функцию  вместо  в уравнении (1), которое компенсирует эффекты влияния на входную величину не нулевых начальных и неоднородных граничных условий, обеспечивая равенство решения  исходной системы (1)-(3) и следующей краевой задачи (24).

                                                                                       (24)

с нулевыми начальными граничными условиями.

Тем самым система уравнений (24) эквивалентна исходной модели (1)-(3), но при этом собирает правую часть уравнения (1) в входные воздействия, существенно упрощает описание СРП.

Система (24) называется стандартной формой записи уравнения (1)-(3), а функция  - стандартизирующая функция.

Лекция № 10

,         ,      

В соответствии с (21) решение этой задачи принимает вид:

                                                                                (25)

Выражение (25) – это интегральная форма описания СРП.

Передаточная функция объектов с распределенными параметрами

Применение преобразование Лапласа по временному аргументу  к вход выходным  соотношением (25) для линейных стационарных блоков, позволяет распространять на СРП понятие передаточной функции:

   (26)

Замечание:

Здесь переменная  выступает в роли постоянного параметра.

 - изображение выхода объекта , функции Грина  и стандартной функции .

 - комплексная переменная преобразования Лапласа.

Т.е.

                                                       (27)

где    - пространственная композиция.

Будим называть изображение функций Грина:

                                                                                                   (28)

Выражение (28) – это  передаточная функция объекта РП.

Здесь кроме  в передаточную функцию входят пространственные переменные  и  входа и выход распределенного объекта.

Распределенный блок с передаточной функцией,  не зависящей от переменной  называется статическим блоком, т.е.

                                                        

Применив обратное преобразование Лапласа, получим функцию Грина такого блока.

А реакция на его выходе согласно (25)

(29)

То есть, по сути, является без инерционным звеном.

 

Соединения распределенных блоков

Параллельное соединение распределения блоков

Пусть нам известны передаточные функции  и  двух распределенных блоков ((27)и (28)), выходные сигналы которых  и  определены на пространственных областях  и  при параллельном соединении этих блоков с общим входом , их выходные сигналы складываются в каждой точке  - пространственной области , на которой определена соответствующая сумма , рассматривающая в качестве выхода этого соединения и следовательно:

 

Если , то и , откуда

           (30)

где    и

То есть передаточная функция параллельного блока:

где

                                                                           (31)

Данный вывод распространяется на любое число параллельных блоков.

Лекция № 11

Последовательное соединение распределенных блоков

 

При последовательном соединении двух блоков с передаточными функциями  и  в силу уравнения (27), получаем соотношение, связывающего вход и выход каждого из них.

                                                                                       (32)

Здесь  - выход второго блока выход всего соединения,  - выход сигнала первого блока, который одновременно является входным сигналом  - второго блока.

 - пространственная переменная внешнего воздействия,

 - пространственная переменная второго блока.

Последовательное соединение имеет смысл при , что называется условием согласования.

Пространственную область определения выходного сигнала предыдущего блока и сигнала последовательного совпадают.

Таким образом, передаточная функция последовательного блока, это есть интеграл по последовательной координате.

                                       (33)

Передаточная функция последовательного соединения определяется в форме пространственной композиции (33) передаточных функций отдельных блоков, связанных в порядке обратном по отношению к порядку их следования в схеме данного соединения.

Поэтому менять сомножители нельзя, так как интеграл может изменить свои значения.

Поэтому последовательное соединение называется некоммутативным.

Полученные выводы распространяются на любое число последовательных блоков.

Лекция № 12

Пример:

Рассмотрим процесс нагрева тела: