(9)
Уравнение (9) – неоднородное уравнение теплопроводности, учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.
Включив в правой части уравнений (8) и (9) дополнительный член , получим уравнение теплопроводности в цилиндрической системе пространственных координат.
Уравнения эклектического типа
В уравнениях этого типа отсутствует производная от по времени t и описывают стохастическое состояние ОРП.
1) Гельмгольца
(10)
2) Пуассона
(11)
при в уравнении (10)
3) Лапласа (эллиптического типа)
При
(12)
Уравнения (11) и (12) моделируют в распространении температуры потенциала скоростей при стационарном течении несжимаемой жидкости потенциал электрического поля в задачах электрической статики и т.д. при отсутствии или наличии внешних воздействий соответственно.
Уравнение (10) описывает многие физические процессы теплопроводности, диффузии в движущихся средах, напряженности поля и т.д.
Замечание:
В общем случае описание функции не сводится к перечисленным уравнениям так как:
- оператор L может быть нелинейным;
- уравнения могут быть многополярными (в двух или трех мерных пространственных координатах);
- порядок уравнения может быть больше второго;
- поведение СРП может моделироваться не одним, а системой уравнений в частных производных, т.е. описываться векторным уравнением.
Общая характеристика условия однозначности
Начальные условия
Начальная функция в уравнении (2) должна задавать начальные (при ) распределения во всей замкнутой области самой функции состояния и производных по времени t, где - порядок старшей производной в уравнении (1).
(13)
где
в уравнении (2).
Для гиперболических уравнений (5) – (7) должны быть заданы равное:
Для параболических уравнений (8) – (9):
Для электрических уравнений (10) – (12) начальные условия отсутствуют так как там нет производных по времени.
Граничные условия
При исследовании процессов в неограниченном пространстве (простейший случай) граничные условия отсутствуют.
При ограниченном объеме области линейный оператор Г в уравнении (3) может иметь один из следующих видов:
1) Граничные условия первого рода (первая краевая задача) – Дирихле.
(14)
То есть должна быть задана сама функция состояния на границе .
2) Граничные условия второго порядка (вторая краевая задача) – Нейман.
(15)
Задается граничная функция состояния на границе пространственной области.
3) Граничные условия третьего рода (третья краевая задача, смешанная задача).
(16)
где и - заданные функции на границе , принимающие в частности постоянные значения.
В общих случаях возможно следующее:
1. На различных участках границы могут задаваться граничные условия различного типа.
2. Для объектов с уравнением первого порядка всегда рассматривается первая краевая задача.
3. Граничные условия значительно упрощаются для области правильной формы.
Лекция № 9
Импульсные переходные функции и основные соотношения вход-выход
Рассмотрим СРП, функция соотношение, которого описывается уравнением (4).
После приведенные к конечной форме записи (не содержащие смешанных производных), это уравнение имеет вид:
(17)
Это уравнение имеет вид (17) с типовыми начальными условиями, которые преобразуют в рассматриваемом одномерном случае, вид:
(18)
, (19)
, (20)
где - входные воздействия, которые в общем случае могут включать внутреннее управление , и , реализуемые за счет внутренних источников энергии или вещества.
Пример:
Индукционный нагрев металлических изделий, в процессе которого внутренние источники тепла возбуждают электромагнитным полем индуктора на основе эффекта ветровых токов.
Основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с выходными воздействиями, определяется общим решением, представленном в следующей интегральной форме:
(21)
где и - переменные интегральные по пространственной координате и времени соответственно.
Первый и второй интегралы по пространственной координате определяется соответствующей общему решению, соответствующего влияния , начальных распределений и .
Четвертый и пятый интегралы по времени учитывают сосредоточение входные воздействия и (19)-(20) по граничным условиям.
Третий двойной интеграл по пространственно временной области изменения пространственно и временного аргумента распределенного входного воздействия и отражает его вклад в реакцию объекта.
- ядра линейных интегральных операторов.
В частности в третьем интеграле есть функция Грина.
Функция Грина
Если в краевой задаче (17)-(20) начальные условия нулевые, а граничные условия однородные, т.е.
и функции в уравнении (17) представляется как
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.