Моделирование. Математические схемы моделирования. Основные подходы к построению математической модели системы. Дискретно детерминированные системы (F-схемы), страница 7

                                                                                (9)

Уравнение (9) – неоднородное уравнение теплопроводности, учитывающее внешнее воздействие от внутренних источников вещества и энергии.

Включив в правой части уравнений (8) и (9) дополнительный член , получим уравнение теплопроводности в цилиндрической системе пространственных координат.

Уравнения эклектического типа

В уравнениях этого типа отсутствует производная от по времени t и описывают стохастическое состояние ОРП.

1) Гельмгольца

                                                                                      (10)

2) Пуассона

                                                                                                  (11)

при  в уравнении (10)

3) Лапласа (эллиптического типа)

При   

                                                                                                      (12)

Уравнения (11) и (12) моделируют в распространении температуры потенциала скоростей при стационарном течении несжимаемой жидкости потенциал электрического поля в задачах электрической статики и т.д. при отсутствии или наличии внешних воздействий соответственно.

Уравнение (10) описывает многие физические процессы теплопроводности, диффузии в движущихся средах, напряженности поля и т.д.

Замечание:

    В общем случае описание функции не сводится к перечисленным уравнениям так как:

- оператор L может быть нелинейным;

- уравнения могут быть многополярными (в двух или трех мерных пространственных координатах);

- порядок уравнения может быть больше второго;

- поведение СРП может моделироваться не одним, а системой уравнений в частных производных, т.е. описываться векторным уравнением.

Общая характеристика условия однозначности

Начальные условия

Начальная функция  в уравнении (2) должна задавать начальные (при ) распределения во всей замкнутой области  самой функции состояния  и  производных по времени t, где  - порядок старшей производной в уравнении (1).

                                                   

                                                 

                                                                                                            (13)

                                                

                                                      

где

в уравнении (2).

Для гиперболических уравнений (5) – (7) должны быть заданы  равное:

                                                  

Для параболических уравнений (8) – (9):

                                                  

Для электрических уравнений (10) – (12) начальные условия отсутствуют так как там нет производных по времени.

Граничные условия

При исследовании процессов в неограниченном пространстве (простейший случай) граничные условия отсутствуют.

При ограниченном объеме области  линейный оператор Г в уравнении (3) может иметь один из следующих видов:

1) Граничные условия первого рода (первая краевая задача) – Дирихле.

                                                                                          (14)

То есть должна быть задана сама функция состояния на границе .

2) Граничные условия второго порядка (вторая краевая задача) – Нейман.

                                                                                        (15)

Задается граничная функция состояния на границе пространственной области.

3) Граничные условия третьего рода (третья краевая задача, смешанная задача).

                                                         (16)

где    и  - заданные функции на границе , принимающие в частности постоянные значения.

  В общих случаях возможно следующее:

1. На различных участках границы  могут задаваться граничные условия различного типа.

2. Для объектов с уравнением первого порядка всегда рассматривается первая краевая задача.

3. Граничные условия значительно упрощаются для области  правильной формы.

Лекция № 9

Импульсные переходные функции и основные соотношения вход-выход

Рассмотрим СРП, функция соотношение, которого описывается уравнением (4).

После приведенные к конечной форме записи (не содержащие смешанных производных), это уравнение имеет вид:

                         (17)

       

Это уравнение имеет вид (17) с типовыми начальными условиями, которые преобразуют в рассматриваемом одномерном случае, вид:

                                                                                                         (18)

                           ,                           (19)

                                 ,                       (20)    

где    - входные воздействия, которые в общем случае могут включать внутреннее управление ,  и , реализуемые за счет внутренних источников энергии или вещества.

Пример:

Индукционный нагрев металлических изделий, в процессе  которого внутренние источники тепла возбуждают электромагнитным полем индуктора на основе эффекта ветровых токов.

Основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с выходными воздействиями, определяется общим решением, представленном в следующей интегральной форме:

        (21)

где   и  - переменные интегральные по пространственной координате и времени соответственно.

Первый и второй интегралы по пространственной координате определяется соответствующей общему решению, соответствующего влияния , начальных распределений   и .

Четвертый и пятый интегралы по времени учитывают сосредоточение входные воздействия  и  (19)-(20) по граничным условиям.

Третий двойной интеграл по пространственно временной области изменения пространственно  и временного  аргумента распределенного входного воздействия  и отражает его вклад в реакцию объекта.

 - ядра линейных интегральных операторов.

В частности  в третьем интеграле есть функция Грина.

Функция Грина

Если в краевой задаче (17)-(20) начальные условия нулевые, а граничные условия однородные, т.е.

и функции  в уравнении (17) представляется как