Краткие теоретические сведения и методические советы по выполнению курсовой работы, страница 11

.                                 (4.21)

3.  Найдем вынужденную составляющую общего решения u₂(∞) из схемы замещения исходной цепи (рис.2.14б), составленной при t®¥ (w=0).

Анализ цепи показывает, что вынужденная составляющая переходной характеристики, равна 

u₂(∞) =0.

Отсюда следует, что искомая функция примет вид

.                                     (4.22)

4. Найдем А₁ и А₂ исходя из начальных условий. Их находят из начальных условий (при t=0) для искомой функции и ее производных.

Из выражения (4.22) для общего решения следует, что искомая функция при t = 0  равна

u_2(t=0)=A₁+A₂

а производная от искомой функции при t = 0  равна

.

Учтем, что , где i₂(t=0) ток второго контура при t=0.

Определим u₂(t=0) и i₂(t=0) из анализа схемы при нулевых начальных условиях с учетом законов коммутации. Поскольку напряжение на конденсаторе мгновенно измениться не может, то u_c(+0)=u_c(-0)=0 , где u_c(+0) - напряжение на конденсаторе после подачи скачка напряжения. u_c(-0) -напряжение на конденсаторе до подачи скачка напряжения. Последнее, при нулевых начальных условиях, равно нулю, а конденсаторы С₁ и С₂ на схеме (схема t = 0) представляют собой участки цепи с нулевым сопротивлением. Следовательно, схема замещения исходной цепи при t® 0 (w=¥) имеет вид приведенный на рис.2.14в.

Из анализа этой схемы замещения следует, что u_2(t=0) =0 и i_2(t=0) =Е/R_2. Отсюда уравнения для нахождения постоянных интегрирования А₁ и А₂ принимают вид:

Из решения этой системы следует:

Запишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

              

5.Найдем корни характеристического уравнения р₁=a+b;  р₂=a-b, где

;   

Очевидно, что , а потому корни вещественны и различны, причем p₂<p₁<0.

6. Запишем окончательное решение и проведем анализ ПХ

Переходная характеристика имеет вид:

.

Качественный анализ ПХ показывает, что она состоит из двух экспонент: “быстрой”, с постоянной времени t₂= -1/p₂, и  “медленной”, с постоянной времени t₁= -1/p₁ (), амплитуды которых одинаковы по величине, но противоположны по знаку (А₁= -А₂). Графики составляющих ПХ и самой ПХ приведены на рис.2.15. Очевидно, что время нарастания ПХ, т.е. область малых времен будет определяться t₂, а время установления ПХ, область больших времен, постоянной времени t₁.

7. Расчет  и построение переходной характеристики с помощью ЭВМ 

Для определения временного интервала и шага, с которым будем производить расчет графика ПХ, необходимо проанализировать характер функций, составляющих переходную характеристику.

В рассматриваемом примере ПХ представляется  суммой двух экспонент с постоянными временами  и .

Если величины  и  одного порядка, то за временной интервал  0-Т₁ принимается . Шаг изменения времени определим из соотношения , где n - число точек ПХ  (Примем n=20).

Если величины  и  сильно отличаются (>>), то расчет ПХ необходимо вести для двух интервалов:

а) для области малых времен  примем    с шагом      (n=10);

б) для области больших времен  примем   с шагом      (n=10).

В рассматриваемом примере =0.001, =9.01·10^-3 ,  >>, а примерный вид ПХ приведен на рис.2.15.

В ряде случаев ПХ может иметь вид затухающей по экспоненте гармонической функции, вида. В этом случае за временной интервал принимать T2=(4¸5)/a. За шаг измерения принять величину , где T - период гармонических колебаний Т=2p/b..

8. Пример расчета переходных характеристик электрических цепей с помощью пакета математических программ  Mathcad.

8.1.Вычислить корни характеристического уравнения р₁, р₂ и постоянные времени τ₁, τ₂.

8.2. Вычислить коэффициенты А1 и А2

Определим шаг по времени, примем число отсчетов

Т2=5 10^-3

8.3.Введите выражение для переходной характеристики h(t),  К=1000,

  

Результаты расчета переходных характеристик приведены на рис. 2.16, где h1_i – Рис.2.16.