:Штурм-Луивилдің болымсыз операторы, страница 2

Мына түрде беруге болады                       

,                                  (1.8)

мұндағы                        

.                                                  (1.9)

Осы 1.1. теоремасынан мынадай салдар шығады.

САЛДАР 1.1. (4), (7) бастапқы берілгендер үшін (1)  теңдеудің шешімін мына түрде жазуға болады

,                                    (1.10)

,                                  (1.11)

мұндағы   функция,   функциясы (6), (9) формуласындағы  (3)  операторының   ядросы бойынша өрнектеледі.

(3), (10), (11) теңдігінің оң жағында анықталған , , ,  операторын 0 нүктесіне байланған түрлендіру операторы деп атаймыз.

ЛЕММА 1.1. Егер (2)  бастапқы берілгендер үшін (1) теңдеудің  шешімі барлық  мәнінде (3) формуламен берілсе, онда  ядросы мына теңдеуді қанағаттандырады

                       (1.12)

және, керісінше, егер  функциясы (12) теңдеуін қанағаттандырса, онда  (3) формуласы оң жағындағы барлық  мәндерінде үшін (2) бастапқы берілгендер үшін (1) теңдеудің  шешімі болады.

ТЕОРЕМА 1.2. (12) теңдеудің жалғыз ғана шешімі бар. Бұл шешім үзіліссіз және мына теңсіздікті қанағаттандырады

,                        (1.13)

мұндағы

                                             (1.14)

Егер  функциясы   үзіліссіз туындысы болса, онда ядросының    екі жақты алмастыру бойынша  үзіліссіз туындысы бар.

САЛДАР 1.2.   функциясы (3) түрлендіру операторының ядросы болу үшін  функциясы Гурс есебінің шешімі болуы қажетті және жеткілікті:

,  ,  .            (1.15)

Егер  функциясы үзіліссіз  дифференциалданса, онда (1.15) есебі былай түрленеді:

,   ,  .          (1.16)

1.1.  Ақырғы интервалдағы Штурма-Лиувиллдің шекаралық есебі

 аралығында  Штурма-Лиувилл теңдеунің шекаралық есебін қарастырайық:

,                                                      (2.1)

және екі шекаралық шарттармен :

,                  (2.2)

мұндағы - қосатын комплексмәнді функция, - туындылы комплексті сандар.

Параметрмәні болғанда, мұндай шекаралық есептердің нөлдік шешімдері болса, онда оны меншікті мән деп атаймыз, ал оған сәйкес шешім- меншікті функция деп аталады. (1) теңдеуінің фундаментальді жүйесінің шешімі  мына анықталған бастапқы берілгендерді ,   мынау ,  арқылы белгілейік ( сонымен    алдынғы бөлімшеде белгіленген ).  Сондықтан (1) теңдеуінің  жалпы шешімі , :  функциясының сызықты комбинациясы болса, онда

,          (2.3)

бұдан, (1), (2) шекаралық есептің нөлдік шешімі болады сонда ғана, егер теңдеулер жүйесі

,

, 

 коэффициенттерінің нөлдік шешімі болса. Сондықтан меншікті мән қарастырылған есепке квадрат түбірмен оның характеристикалық функциясы сәйкес келеді.

.                   (2.4)

Мына анықтауышты ескере отырып вронскиан  бірге тең болатындығын көреміз, сол арқылы

,         (2.4^/)

Функциясын табамыз. Мұндағы -анықтауыш,  шекаралық шарттың коэффициенті ,  матрица бағандарынан құралған.

.                                                            

Бұдан   болғанда, (1)-(2) шекаралық есептің  характеристикалық функциясы мына түрге келеді:

              (2.6)

және  қарапайым жағдайда, яғни  функцисы нөлден өзгеше болғанда меншікті жүйенің толықтығы және тек шекаралық шарттарға қоюға болатын қосарланған функция туралы сұрақ туады. Бұл келесі 3 шарттың орындалу мүмкіндігін көрсетеді:

1) ;  2) ;  3) .                (2.7)

Шекаралық шарт бұлардың кемінде біреуін қанағаттандырса, онда ол болымды деп аталады.

ТЕОРЕМА 2.1. (1)-(2) толық болымды шекаралық шарттармен берілген меншікті жүйе және қосарланған функцияның шекаралық есебін  кеңістігінде қарастырған.

Қосарланған функция анықтамасын еске түсірейік.

(4) анықтауышын элементі арқылы белгілеп, (1) теңдеуінің шешімін құрастырайық:

.                                                  (2.8)

(3) формуласынан тура -ға тең екендігін көреміз.

,

.

(1)-(2) шекаралық есептің меншікті мәні  - еселік деп аталады, егер    функциясының  еселік түбірі болса.

,  , болса, онда функция

, 

 -  (2) шекаралық шартын қанағаттандырады,егер  болса.   функциялары  тізбек құралады,  біріншісі нөлден өзгеше  функциясы меншікті болады, ал келесілері функцияларға қосарланған. (1) теңдеуін  рет  бойынша дифференциалдай отырып , (2) шекаралық шартын  және