Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 58

Необходимость. Пусть точка покоится: , тогда

, ,

и уравнение относительного движения (31.11) дает второе условие в (31.17): .

Достаточность. Пусть выполнены условия (31.17), тогда уравнение относительного движения принимает вид или

После скалярного умножения этого равенства на получаем интеграл:

, , , где – произвольная постоянная. В силу начального условия . Следовательно, . Теорема доказана.

Второе из равенств в (31.17) называют векторным уравнением относительного равновесия. В подвижной системе координат оно эквивалентно системе трех уравнений

, (31.18)

называемых уравнениями относительного равновесия точки в декартовых координатах. При выполнении условия

их можно разрешить относительно координат и тем самым найти положение равновесия (одно или несколько), в которых точка будет покоиться.

32. Относительное движение у поверхности Земли.

Известно, что гелиоцентрическая система отсчета (связанная с центром Солнца) является инерциальной системой с высокой степенью точности. Геоцентрическая же система отсчета, имеющая начало в центре Земли и жестко с нею связанная, не является инерциальной системой в силу движения Земли по орбите и вращения вокруг своей оси. Рассмотрим некоторые особенности движения точки в этой неинерциальной системе.

1°. Уравнение движения. Вес тела.

Пусть – инерциальная гелиоцентрическая система отсчета, связанная с Солнцем . Свяжем с Землей – средой – геоцентрическую (неинерциальную) систему , совместив начало с центром Земли, ось – с земной осью и проведя оси , в плоскости экватора (Рис.74). Будем рассматривать в этой системе относительное движение точки массы у поверхности Земли. Обозначим через и силы притяжения точки Землей и Солнцем и через – равнодействующую всех прочих сил (например, реакцию связи, сопротивление среды и т.п.), тогда динамическое уравнение относительного движения, согласно (31.11), будет

. (32.1)

Пусть – угловая скорость вращения Земли. Известно, что эта скорость постоянна и численно равна

, об/сутр/ср/с.

Тогда угловое ускорение у Земли будет отсутствовать: , и переносная сила инерции будет представлена суммой двух составляющих

, (32.2)

где – полюсная сила инерции, а – центробежная сила инерции. Внося силу (32.2) в уравнение (32.1), будем иметь

. (32.3)

Обозначим через массу Солнца и через – вектор-радиусы точек и в гелиоцентрической системе . При движении в окрестности Земли модуль относительного вектор-радиуса имеет порядок земного диаметра : и он несравненно меньше расстояния от Земли до Солнца: . Поэтому в векторной сумме вторым слагаемым допустимо пренебречь сравнительно с первым и с высокой степенью точности принять . В этом приближении сила притяжения точки Солнцем будет равна