Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 40

2°. Определение закона изменения силы.

Формулы (24.2) позволяют вычислить силу в любой момент времени, но они не содержат информации о физической природе силы, то есть о законе изменения силы. Чтобы получить этот закон, т.е. найти силу как функцию переменных  и , мало, оказывается, задания одного движения точки; требуется наряду с массой  задавать достаточно широкий класс движений, а именно, движение, зависящее от шести произвольных параметров:

   .                                                                                        (24.4)

Будем считать, что эти функции дважды непрерывно дифференцируемы и таковы, что отличен от нуля определитель

.                                                                                                 (24.5)

Тогда, действуя вышеизложенным способом, получим для компонент силы выражения, зависящие от времени и шести параметров

.                                                                                (24.6)

Рассмотрим систему шести уравнений, состоящую из (24.4) и следующих уравнений, полученных дифференцированием (24.4) по времени

,   , и будем рассматривать ее как систему неявных функций относительно параметров . Условие (24.5) обеспечивает разрешимость этой системы относительно параметров. Фактически разрешая систему, получим зависимости

     .

Внося эти выражения параметров в (24.6), получим компоненты, а также закон изменения силы в виде

,    .                                                            (24.7)

Полученные формулы решают задачу. Таким образом, задача нахождения силы по движению решается всегда и сводится к выполнению дифференциальных и алгебраических операций.

3°. Вывод закона Гука.

В качестве примера решения прямой задачи динамики определим силу, обуславливающую колебательные движения точки. Пусть для точки массы  задано шести параметрическое семейство колебаний

   ,                                                                                       (24.8)

в которых роль параметров играют амплитуды  и начальные фазы  (частота  является заданным числом); установим закон изменения действующей силы.

Дифференцированием по времени уравнений (24.8) находим скорости и ускорения:

,   , следовательно, компоненты действующей силы по основному закону динамики определятся в виде

,   .                                                                   (24.9)

Из (24.9) следует исключить параметры путем выражения их через время, координаты и скорости точки. Однако для этой цели не требуется определять каждый из параметров, а достаточно воспользоваться уравнениями колебаний (24.8), чтобы найти входящие в (24.9) их комбинации.

В результате для компонент силы получаем формулы

   , определяющие саму силу в виде закона Гука:

.                                                                            (24.10)

Согласно (24.10) колебания точки обуславливаются силой, пропорциональной отклонению  от равновесного положения  и направленной против отклонения. Эту силу называют силой упругости. С такой силой, в частности, действует на точку деформированная пружина, при этом коэффициент  определяет так называемую жесткость пружины, а  – величину деформации пружины.

25. Определение движения по силе и начальному состоянию.

1°. Постановка обратной задачи.

Рассмотрим решение обратной задачи динамики точки на основе декартовых дифференциальных уравнений. Пусть известен закон изменения силы, действующей на точку массы , и ее начальное состояние; и требуется найти движение точки. Это означает, что заданы декартовы компоненты силы как функции времени, координат и скоростей

    ,                                                                                             (25.1)

причем предполагается, что эти компоненты являются непрерывными функциями всех аргументов и принадлежат классу Липшица по координатам и скоростям

  по  ;        по                                                                               (25.2)