Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 22

Таким образом, координаты любой точки тела удовлетворяют уравнению сферы, следовательно, траектория точки есть сферическая кривая. Сферический тип траектории точек в данном движении дает название “сферическое” и самому движению тела.

3°. Скорости и ускорения точек тела в сферическом движении.

Так как в сферическом движении тела полюс  неподвижен: , то его скорость и ускорение равны нулю

,    .                                                                                           (15.4)

Общие формулы для скорости и ускорения точки тела

,   

при сферическом движении в силу (15.4) упрощаются и принимают вид

,    .                                                                                            (15.5)

Согласно первой из формул в (15.5) скорость точки тела в сферическом движении является скоростью вращения вокруг полюса. В силу второй в (15.5) формулы ускорение точки тела в сферическом движении складывается только из тангенциального и осестремительного ускорений.

16. Плоское движение твердого тела.

Движение твердого тела называют плоским, если расстояние любой его точки до некоторой неподвижной плоскости сохраняется неизменным во все время движения.

Плоское движение совершают, например, колеса автомобиля или вагона на прямолинейном участке пути, многие детали механизмов и машин и т.п.

1°. Уравнения плоского движения тела.

Пусть  – та плоскость, расстояния до которой точек тела сохраняются при движении. Возьмем в теле некоторую точку  за полюс и проведем через нее плоскость  параллельно плоскости . Согласно определению плоского движения точка  все время будет двигаться в плоскости .

Если выбрать неподвижную систему координат  так, чтобы оси  и  проходили в плоскости  через неподвижную точку , а ось  была ортогональна к плоскости  (Рис.29), то уравнения движения полюса  примут вид

,    ,    .                                                                                    (16.1)

Свяжем с телом сопутствующую систему  таким образом, чтобы в некоторый начальный момент  оси ,  принадлежали плоскости , а ось  была ортогональна к ней. Тогда в силу определения плоского движения ось  останется ортогональной к плоскости  в любой момент и совпадет с осью  (Рис.29). Следовательно, , углы  и  будут изменяться вокруг совпадающих осей  и , а линия узлов  станет неопределенной. Возьмем  совпадающей с осью , тогда ,  и уравнения вращения вокруг полюса примут вид

,    ,    .                                                                                          (16.2)

Собирая вместе выражения (16.1) и (16.2), установим, что уравнения плоского движения тела имеют вид

,   , ,

,      ,      .                                                                                            (16.3)

Следовательно, плоское движение тела описывается тремя уравнениями, из которых первые два являются уравнениями движения полюса в плоскости , а последнее – уравнением вращения тела вокруг оси, ортогональной этой плоскости (Рис.29).

2°. Уравнения движения и траектории точек тела в плоском движении.

В плоском движении тела углы прецессии и нутации равны нулю: , поэтому  и - матрицы являются единичными

,

и матрица  результирующего поворота будет совпадать с - матрицей, соответствующей углу :

.                (16.4)

Поэтому уравнения движения типичной точки  тела

примут вид

.                                                                                                                               (16.5)

Рассмотрим вид траектории точки . Первые два уравнения движения в (16.5) после исключения времени принимают вид поверхности , представляющей собою цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Последнее же уравнение в (16.5) является уравнением плоскости, ортогональной оси . Следовательно, траектория точки  есть плоская кривая, полученная при пересечении цилиндра плоскостью (Рис.30). Так как  – любая точка тела, то плоскими линиями будут траектории всех точек тела. В силу этого свойства траекторий и само рассматриваемое движение называют плоским.