Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 10

Следовательно, производная от вектора скорости по криволинейной скорости равна производной от вектора-радиуса по соответствующей криволинейной координате.

Вычислим далее производные  и :

,

.

Сравнение этих соотношений приводит к равенству

,                                                                                                      (8.10)

т.е. дифференцирование вектор-радиуса по времени и по криволинейной координате можно менять местами.

С помощью равенств (8.9) и (8.10) физические компоненты ускорения (8.7) можно записать в виде

.                                                                                          (8.11)

Представим теперь выражение в квадратной скобке через квадрат скорости. Имеем

,          .

Подстановка этих выражений в (8.11) дает для физических компонент ускорения окончательные выражения

,                       .                                                        (8.12)

Входящий в (8.12) квадрат скорости через коэффициенты  Ламе и криволинейные скорости выражается в виде

.                                                                                                    (8.13)

Подстановка (8.13) в (8.12) дает представление компонентов ускорений через коэффициенты Ламе, криволинейные скорости и ускорения

.                                                                          (8.14)

Модуль вектора ускорения и его ориентация относительно элементов базиса в точке  даются известными формулами

,      .                                                                                    (8.15)

5°. Определение движения и скорости точки по ее ускорению и начальному состоянию.

Пусть заданы физические компоненты ускорения точки в криволинейных координатах как непрерывные функции времени  и начальное состояние точки: ,  (коэффициенты Ламе полагаются определенными выбранной системой). Тогда равенства (8.14), записанные в виде системы, вместе с начальными условиями

,           ,                                               (8.16)

,      ,     

образуют начальную задачу для криволинейных координат и скоростей , . Допущения о функциях ,  обеспечивают существование и единственность решения. Таким образом, задание ускорения точки и ее начального состояния позволяет найти скорость точки и уравнения ее движения.

6°. Движение корабля с постоянным курсовым углом.

Рассмотрим задачу об определении траектории корабля, идущего под постоянным курсовым углом  к географическому меридиану. Корабль принимаем за точку , движущуюся по поверхности земного шара. Движение корабля рассматриваем в сферических координатах , , ( – радиус,  – долгота,  – широта) (Рис.10), связанных с декартовыми координатами зависимостями

, , .

Обратные зависимости имеют вид

,      ,      .

Как видно из последних формул, координатными поверхностями , ,  служат соответственно сфера, полуплоскость и конус, а координатными линиями – -линия – прямая (радиус), -линия – окружность (параллель), -линия – окружность (меридиан).

Выполнение условий

,      ,     

означает ортогональность сферических координат. Коэффициенты Ламе в сферической системе имеют значения

,    ,    .

На поверхности сферы скорость корабля имеет составляющие , , направленные вдоль параллели и меридиана соответственно. Из треугольника скоростей (Рис.10) находим

.

Подставив в это равенство значения скоростей и разделив переменные, получим дифференциальное уравнение траектории

,              ;

;        .

В последнем равенстве обе его части представимы в виде дифференциалов функций

,

              .

Подстановка в уравнение этих выражений и интегрирование от начального положения корабля  до рассматриваемого  дают уравнение траектории корабля

,      , или окончательно

.

Эту кривую, принадлежащую поверхности сферы, называют локсодромией.

9. Естественное представление движения точки.

Движение точки можно определять без использования системы координат путем задания траектории и уравнения движения по траектории.