Следовательно, производная от вектора скорости по криволинейной скорости равна производной от вектора-радиуса по соответствующей криволинейной координате.
Вычислим далее производные и :
,
.
Сравнение этих соотношений приводит к равенству
, (8.10)
т.е. дифференцирование вектор-радиуса по времени и по криволинейной координате можно менять местами.
С помощью равенств (8.9) и (8.10) физические компоненты ускорения (8.7) можно записать в виде
. (8.11)
Представим теперь выражение в квадратной скобке через квадрат скорости. Имеем
, .
Подстановка этих выражений в (8.11) дает для физических компонент ускорения окончательные выражения
, . (8.12)
Входящий в (8.12) квадрат скорости через коэффициенты Ламе и криволинейные скорости выражается в виде
. (8.13)
Подстановка (8.13) в (8.12) дает представление компонентов ускорений через коэффициенты Ламе, криволинейные скорости и ускорения
. (8.14)
Модуль вектора ускорения и его ориентация относительно элементов базиса в точке даются известными формулами
, . (8.15)
5°. Определение движения и скорости точки по ее ускорению и начальному состоянию.
Пусть заданы физические компоненты ускорения точки в криволинейных координатах как непрерывные функции времени и начальное состояние точки: , (коэффициенты Ламе полагаются определенными выбранной системой). Тогда равенства (8.14), записанные в виде системы, вместе с начальными условиями
, , (8.16)
, ,
образуют начальную задачу для криволинейных координат и скоростей , . Допущения о функциях , обеспечивают существование и единственность решения. Таким образом, задание ускорения точки и ее начального состояния позволяет найти скорость точки и уравнения ее движения.
6°. Движение корабля с постоянным курсовым углом.
Рассмотрим задачу об определении траектории корабля, идущего под постоянным курсовым углом к географическому меридиану. Корабль принимаем за точку , движущуюся по поверхности земного шара. Движение корабля рассматриваем в сферических координатах , , ( – радиус, – долгота, – широта) (Рис.10), связанных с декартовыми координатами зависимостями
, , .
Обратные зависимости имеют вид
, , .
Как видно из последних формул, координатными поверхностями , , служат соответственно сфера, полуплоскость и конус, а координатными линиями – -линия – прямая (радиус), -линия – окружность (параллель), -линия – окружность (меридиан).
Выполнение условий
, ,
означает ортогональность сферических координат. Коэффициенты Ламе в сферической системе имеют значения
, , .
На поверхности сферы скорость корабля имеет составляющие , , направленные вдоль параллели и меридиана соответственно. Из треугольника скоростей (Рис.10) находим
.
Подставив в это равенство значения скоростей и разделив переменные, получим дифференциальное уравнение траектории
, ;
; .
В последнем равенстве обе его части представимы в виде дифференциалов функций
,
.
Подстановка в уравнение этих выражений и интегрирование от начального положения корабля до рассматриваемого дают уравнение траектории корабля
, , или окончательно
.
Эту кривую, принадлежащую поверхности сферы, называют локсодромией.
9. Естественное представление движения точки.
Движение точки можно определять без использования системы координат путем задания траектории и уравнения движения по траектории.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.