Методы оптимизации композиционных систем, страница 18

Объемная доля частиц в этой модели

f   \³

Выражение для эффективного объемного модуля можно получить и для среды, состоящей из двух материалов с близкими объемными модулями, т.е.

i у m

Если данная среда находится в условиях всестороннего сжатия, то деформация во всех частицах одинакова, а смещения и нагрузки на поверхности направлены по радиусу. Поэтому среда может рассматриваться как однородная с эффективным объемным модулем таким же, как и для одной частицы в оболочке

3k_m+4ju_m~3(k_f-k_m}

где V

fi_m - модуль сдвига фазы матрицы.

8.1.2. Среда с равными модулями сдвига фаз

В этом случае композиционный материал представляет собой систему с равными сдвиговыми модулями фаз и включениями произвольной конфигурации (рис. 8.4). Общий объемный модуль изотропной смеси к определяется только концентрацией и модулями объемного сжатия фаз и не зависит от формы включений

Для такой среды при произвольных концентрациях включений общий объемный модуль к — ку 4,     4

5

k„-=Vk+V_fk

(8.2)

Вариационные оценки для эффективных постоянных двух-компонентных сред находят следующим образом. Простейший способ определения границ изменения эффективных модулей связан с непосредственным применением теорем о минимумах потенциальной и дополнительной энергий. Исходя из принципа минимума потенциальной энергии и линейной зависимости поля перемещений от координат, получим, что эффективные модули

не превышают значений к_у и . Определение модулей жесткости приводит к следующим зависимостям:

ф)>к₂(х), ^(х^^х).

ky=V_fk_f+VJ_m3

С другой стороны, исходя из минимума дополнительной энергии при постоянных напряжениях, получим, что эффективные модули ограничены снизу величинами

(8.5)

_2_ ₊ __»

Таким образом, значения эффективных модулей лежат в интервалах

fi_R<fi<fly.

Тогда энергия деформации первого тела не меньше, чем энергия деформации второго.

Следовательно, если модули упругости фаз одного композита не меньше модулей упругости фаз другого, то эффективные модули упругости первого композита не ниже, чем эффективные модули второго. Если в композите увеличить модули упругости фаз, то возрастут и эффективные модули.

Получим двусторонние оценки для модуля объемного сжатия. Имеется исходный материал с модулями объемного сжатия включений k_f и матрицы к_т и модулями сдвига фаз /л_г и /л_т

(M_f> //,„). Введем в рассмотрение еще два новых материала. У

обоих материалов модули объемного сжатия фаз и формы включений такие же, как у исходного материала. Но в каждой точке модуль сдвига первого материала р_г, а второго ju_m. Материалы при действии сдвигающих нагрузок ведут себя как однородные с модулями jj,_f и //„,. Модуль объемного сжатия материала, у которого модуль сдвига постоянный, определяется формулой (8.2).

Применяя эту формулу для обоих новых материалов, получим