Алгебра векторов, страница 25

5. В Δ ABC  заданы вершины А(2, 1, -1), B(3, 2, -3), C(1, -1, 2). Найти координаты вектора p, коллинеарного высоте треугольника, опущенной на сторону AC, если вектор p образует тупой угол с осью Oy и .

6. Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами А(3, 0, 2), B(1, -1, 3), C(2, 1, 0),  

S(1, 2, 1) и длину её высоты, опущенной на грань ABC.

7. Доказать, что векторы a = – i – j + 6k, b = –2i + 2k и  c = i – 3j + 4k линейно зависимы. Разложить вектор с по векторам а и b.

8. Вычислить объём тетраэдра, построенного на векторах a = (1, -2, 3), b = (2, 3, 4),

c = (-1, -12, 1).

9 Дана пирамида с вершинами А(3, 1, 2), B(-1, 4, 1), C(0, 3, 3) и D(2, 0, 4). Найти угол между векторами  и , объём пирамиды и длину высоты, опущенной на грань ACD.

10. Объём тетраэдра равен 3. Три его вершины находятся в точках А(1, -2, 1), B(2, -1, 3),

C(3, 1, 2). Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oz.

11. Параллелепипед построен на векторах a = i + 2k, b = –3i + j + 2k и  c = i – 2j + k. Найти длину его высоты, опущенной на грань, построенную на векторах a и c.

12. Найти смешанное произведениеmnp, если векторы m, n, p  образуют правую тройку и

|m | = 2, |n | = 1, , и вектор m ортогонален векторам n и p.

13. Вычислить i(2jxk) + 3j(ixk) + k(2ix3j).

1.4. Определить, какой тройкой векторов (правой или левой) являются векторы a = 2i + j - 3k,

b = 5i+ 2k,  c = i + 3j- k.