Основи теорії захисту інформації: Конспекти лекцій № 1-32 (Введення в криптологію, основні поняття і визначення. Проблеми теорії і практики криптології), страница 12

- еквівалент у групах точок ЕК заміняється скалярним множенням.

                                                                                     (8)

у (8) d – число, G – базова точка на ЕКпороджує групу точок n – порядку.

чи

                                                                               (9)

у (9) d – особистий секретний ключ = х.

                                                                       (10)

При виконанні (10) виділяють 2 операції: операція подвоєння – складається 2 однакові точки, і операція додавання – складаються 2 різні точки.

                                                                   (11)

на ЕК сума цих точок:

                                                                                                                  (12)

                                                                       (13)

Метрика операцій на ЕК

                                                                                                            (14)

(14) – визначає метрику додавання 2 точок.

точно також для подвоєння, але (14.3) заміняємо (15):

                                                                                       (15)

                                                                    Рис.14.1

   на ЕК є точка ОБ – нейтральний елемент, точка нескінченності.

Приклади:

Нехай мається ЕК.

а = 1,      б = 1,      Р = 23

1. Перевірити, що наступні точки: (1,7), (1,16), (3,10), (3,13), (4,0), (5,4), (5,19), (6,4), (6,19), (7,11), (7,12), (9,7), (9,16), (17,3), (17,20), (18,20), (19,5), (13,16) належать ЕК.

P1=(3, 10)      P2=(9, 7)

Знайти .

Р3=(17,20)

(частина 2)

1.  Афінні і проективні базиси.

2.  Приклади перетворень.

3.  Порівняння перетворень у полях, кільцях, еліптичних групах.

Відомо 2 представлення груп точок ЕК, 2 базиси: афінний і проективний.

Афінний базис

Для поля ,

                                                     (1)

де  - точки ЕК    

а, б – параметри ЕК,  

У порівнянні (1) , а також а, b – коефіцієнти, є поліномами не вище m – порядку.

     m

     2                                 

m³160        .

Афінний базис вимагає великої обчислювальної складності.

                                     (2)

  - базова точка.

d – особистий секрет ключа     

n – порядок (період) базової точки G.

                                                       

Для зменшення чи складності підвищення швидкості використовується проективний базис:

                X,Y,Z

при цьому перехід з афінного представлення в проективний:

                                                                   (3)

підставимо (3) у (1).

                                    (4)

(4) задає ЕК над полем  у проективному базисі.

(X,Y,Z) – кожна точка задається трьохмірно.

Метрика 2 над полем

Нехай відомі координати 2 точок:

          

                                                              (5)

                                               (6)

                                                       (7)

                                                               (8)

У (7), (8) усі параметри – поліноми не вище m– того ступеня.

F(x)- примітивний поліном над .

Примітивність  - max період поля буде  елементів.

Лекція 9

Загальносистемні параметри перетворень на ЕК

1.  Методи побудови простих чисел і примітивних поліномів.

2.  Побудови і властивості базових точок на ЕК.

3.  Характеристика методів, визначення порядку в ЕК.

1)  q – порядок поля

2) 

3)   , n – просте число, порядок точки G.

      n(modq)º0

4)   U повинно бути майже простим,

      Р  

Усі методи побудови простих чисел можна розділити на 3 класи:

1)  аналітичні

2)  "псевдопрості"

3)  гіпотетичні (на основі гіпотез)            

До аналітичного відносяться методи, на основі яких можна побудувати строго простt число.

Метод спробного розподілу