Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 5

Итак, принцип поляризационной двойственности дает возможность представить решение уравнений Максвелла в виде суммы фундаментальных решений ТМ и ТЕ типа относительно координаты разделения . Каждое из решений описывается  однокомпонентным вектором Герца , для которого справедливо уравнение (1.65). В ряде случаев оно может быть сведено к уравнению Гельмгольца. Отметим, что вывод формул (1.66) и (1.67) основан на усло­виях (1.57). Если в выбранной координатной системе эти усло­вия не выполняются, то данный способ решения оказывается не­применимым. В такой координатной системе общее решение уравнений поля не распадается на сумму решений электрического и магнитного типов.

Рассмотрим несколько простейших координатных систем, удовлетворяющих условиям (1.57), и запишем выражения для компонент ЭМП.

Декартовая система координат (СК) (x, y, z):

Параметры Ламэ . Оба условия (1.57) выполняются, любая из координат может быть координатой разделения. Пусть .

Уравнение (1.65) принимает вид

                                    (1.68)

и совпадает с уравнением Гельмгольца.

Компоненты электромагнитного поля:

ТМ типа относительно z -

, , ,

, , ;                 (1.69)

ТЕ типа относительно z -

, ,

, , .              (1.70)

В цилиндрической системе координат :

, .

Условия (1.57) выполняются, если за координату разделения взять z.

Уравнение для вектора Герца также совпадает с уравнением Гельмгольца

 (см. формулу (П1.14) Приложения 1), а для компонент ЭМП получаем выражения:

для ТМ типа относительно координаты разделения z -

, , ,

, , ;                 (1.71)

для ТЕ типа относительно координаты разделения z -

, ,

, , .             (1.72)

Глава 2. Плоские электромагнитные волны

2.1. Плоские волны в однородной изотропной среде

С помощью комплексных уравнений поля исследуем распространение монохроматических плоских электромаг­нитных волн в однородной безграничной  среде с постоянными комплексными проницаемостями  и . Плоской электромагнитной волной называет­ся электромагнитное поле, векторы которого в каждый момент вре­мени принимают постоянные значения на системе параллельных плоскостей. Таким образом, если выбрать ось z перпендикулярной этим плоскостям, то в монохроматической плоской волне комплек­сные амплитуды полей  и  будут зависеть только от координа­ты z, но не от координат х и у.

Запишем однородные векторные уравнения Максвелла (1.17), (1.37) в декартовой системе координат х, у, z:

,

,

,                          (2.1)

Для плоской волны производные по х и у равны нулю и уравне­ния (2.1) значительно упрощаются. Прежде всего, из третьего уравнения каждого столбца получаем

, ,                                                 (2.2)

откуда видно, что плоские электромагнитные волны в любой сре­де суть волны поперечные.

Комбинируя затем попарно уравнения, в которые входят Ех и Ну, с одной стороны, и Еу и Нх, с другой стороны, приходим к двум независимым системам уравнений (в которых символ частной производной заме­нен на d/dz, поскольку все величины зависят только от z):

,

, .                                       (2.3)

Исключая из каждой системы какую-нибудь одну функцию, для каждой из четырех величин Еx, Ну, Еу и Нх получаем простое уравнение

,                                                    (2.4)

где  - комплексное волновое число в среде. Дифференциальное уравнение (2.4) имеет общее решение

,                                               (2.5)

где C1, C2 – произвольные постоянные. Написав для четырех величин Ех, Ну, Еу и Нх выражения такого вида с разными посто­янными и подставив их в уравнения (2.3), приходим оконча­тельно к следующим выражениям:

, ,

, ,                   (2.6)

где  - комплексный волновой импеданс данной среды, смысл которого поясним позже.

Разберем физический смысл выражений для Ех и Ну, причем ограничимся только первым слагаемым, положив в (2.6) B = 0:

,                                                 (2.7)

Перейдем к физическим величинам, полагая

, .