Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 10

                     (3.25)

где Се — произвольная постоянная. Собственная функция  (3.25) соответствует по формулам   (3.21)  и  (3.24)  собственному значению

,                                           (3.26)

Заметим, что ни одно из чисел s или п нельзя брать равным нулю, так как это приводит к функции (3.25), тождественно рав­ной нулю. Если же взять в качестве s или п отрицательное целое число, то нового решения не получим, так как это приведет лишь к изменению знака постоянной Се в формуле (3.25).

Собственные функции (3.25) и собственные значения (3.26) исчерпывают все возможные решения граничной задачи. Собственная функция (3.25) и собственное значение (3.26) определяют электрическую волну, которая называется волной Еsп в прямоугольном волноводе.

Граничная задача для магнитных волн решается аналогичным образом: ищем функцию , которая должна удовлетворять двумерному волновому уравнению (3.7) в виде произведения (3.18). Рассуждая таким же образом, как и выше, получаем для функций Xm и Ym  уравнения  (3.20) и  общие решения (3.22). Функция  в этом случае должна удовлетворять граничным условиям (3.17).

 при х = 0 и х = а,  при у = 0 и у = b,                 (3.27)

поэтому

при х = 0, откуда А2m = 0;

при   х = а,  откуда;

при   y = 0, откуда  B2m = 0;

при   y = b, откуда  .

Таким образом, для получения нетривиального решения гранич­ной задачи необходимо выбрать числа и , удовлетворяющие тем же самым уравнениям, которые были получены выше для электрических волн. Поэтому возможные значения и  по-прежнему определяются формулами (3.24) с тем лишь отли­чием, что индексы s и п могут быть также равными нулю. Дейст­вительно, при s = 0  имеем  Хm = А1m  и функция  в нуль не обращается.

Окончательно получаем собственные функции

                  (3.28)

и собственные значения

.(3.29)

Они определяют магнитную волну, которая называется волной Нsп в прямоугольном волноводе.

Заметим, что среди магнитных волн в волноводе имеются вол­ны Н10, Н20, ..., Н01, Н02,..., однако волна Н00, у которой оба ин­декса равны нулю и , отсутствует, так как по формулам (3.15), (3.16) такой волне соответствовало бы электромагнитное поле, равное тождественно нулю. Отметим также, что поле волны Н10 (а также волн Н20, ...) не зависит от координаты у. Подоб­ная ей волна  Е10 не может существовать по следующей причине: поле такой волны не должно зависеть от координаты у, но так как при у = 0 и у = b должно быть Ez = 0, то вследствие независимости Ez от у составляющая Ez должна тождественно обращаться в нуль. А это означает, что такой волны нет.

Рассмотрим структуру электромагнитных полей. Простейшая электрическая волна в прямоугольном волноводе есть волна Е11, у которой

.                                (3.30)

Построим картину силовых линий.  Можно показать, что такие линии совпадают с линиями уровня функции  = const. Действительно, для поперечно магнитного ТМ(Е) поля имеются только две компоненты магнитного поля, отличные от нуля и в этом случае уравнение силовых линий есть , где  - касательный орт. Подставив выражение для магнитного поля (3.10), получим двойное векторное произведение и, преобразовав его, получим

,

или

.

Нанеся линии уровня  = const, путем построения семейства кривых, им ортогональных, получим картину электрических сило­вых линий в плоскости поперечного сечения. Точнее, это проекции электрических силовых линий, являющихся трехмерными пространственными кривыми, на плоскость поперечного сечения. Из формул (3.9),  (3.10) вытекает соотношение

,             (3.31)

Каждое из компонент равно нулю по формулам для смешанного произведения, поэтому электрическое поле в каждой точке перпендикулярно маг­нитному и магнитные силовые линии совпадают с линиями уровня функции (х, у). Так как Hz = 0, то магнитные силовые линии являются плоскими кривыми.