Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 29

6.2. Ортогональность собственных волн в волноводе

До сих пор мы исследовали распространение электромагнит­ных волн в средах как решения однородных уравнений Максвелла, т.е. как бы в отрыве от ис­точников этих волн. Таким путем изучены свойства волн, которые могут существовать в некоторой системе. Для практики важно, однако, знать, какое электромагнитное поле создается под воздействием источника поля, с какими амплитудами возбуждаются различные волны и т. д.

Поэтому нельзя ограничиваться исследованием свободных или собственных колебаний (волн), удовлетворяю­щих однородным уравнениям поля (без источников)

.                              (6.20)

Необходимо   исследовать  также  вынужденные  электромагнитные колебания  данной  системы  под действием  источников  поля.  Задавая эти источники в виде сторонних электрических и магнитных токов с плотностями  и , следует решать неоднородные урав­нения электромагнитного поля

.              (6.21)

Оказывается, что задача о вынужденных колебаниях легко ре­шается, если более простая задача о свободных колебаниях реше­на полностью и известна полная система решений однородных уравнений (6.20). Покажем это.

Рассмотрим электромагнитное поле в обобщенном регулярном волноводе. Если волновод образован идеально проводящей стенкой, то на ее внутренней поверхности S0 имеет место граничное условие

 = 0 на S0                                        (6.22)

и все электромагнитное поле заключено внутри S0. Если учиты­вать конечную проводимость стенки волновода, то на поверхности стенки S0 нужно ставить граничное условие Леонтовича (4.8)

 на S0 ,                              (6.23)

и электромагнитное поле будет слегка просачиваться за пределы по­верхности S0 на расстояния порядка толщины скин - слоя d. Здесь Z есть комплексный волновой импеданс металлической стенки;  - нормаль к поверхности S0, направленная внутрь металла.

В случае металлической стенки можно выбрать цилиндричес­кую поверхность S0 иначе, а именно, проводя S0 внутри стенки на глубине, значительно превышающей толщину скин - слоя, по­лучим приближенное условие

на S0,                                     (6.24)

выражающее тот факт, что все электромагнитное поле заключено внутри S0.

Будем считать волновод бесконечным и однородным по оси z, так что проницаемости ,  суть функции х, у, не зависящие от z (это относится как к веществам, заполняющим волновод, так и к материалу стенок). Тогда,  частные решения уравнений (6.20) имеют зависимость от координаты z в виде eihz (см. гл.3). Такие решения являются собственными волнами рассматриваемой системы. Пред­положим также, рассматриваемый волновод имеет диск­ретный спектр собственных волн. Иначе говоря, все волны в дан­ном волноводе могут быть объединены в одну последовательность так, что волна с номером s имеет поле ES, Hs и волновое число hs, т.е. зависит от z посредством множителя . Положительные индексы s (s = 1, 2, ...) имеют волны, распростра­няющиеся   в   направлении   поло­жительной оси z,  точнее, имею­щие Im hs  > 0. Во избежание со­мнений будем  считать   (как при доказательстве   теоремы   единсвенности  в § 1.4), что волновод имеет потери, так что незатухаю­щие волны, для которых Im hs  = 0, в нем существовать не могут. Отрицательным индексом - s (s > 0) обозначаем такую же волну, что и с номером s, но распространяющуюся в противоположном направлении; ее волновое число hs = - hs.

Общее  решение уравнений (6.20) имеет вид

,    ,                  (6.25)

где Cs и C-s - произвольные постоянные, одинаковые для электрического и магнитного поля. Отметим, что индекс s можно рассматривать как краткую запись группы других индексов. Так, например, в волноводах с иде­ально проводящими стенками и однородным заполнением индекс s или - s заменяет обычные символы Еsп или Нsп и указание направления распространения волны.