Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 4

Решениями уравнений Максвелла в криволинейной ортогональной системе координат являются шесть функций . В ряде случаев удается все эти шесть функций, входящих в уравнения Максвелла, выразить через две вспомога­тельные функции U и V, удовлетворяющие уравнениям второго порядка (волновому уравнению или уравнению, приводящему к волновому). Это возможно, если уравнения (1.49) – (1.52)

                                              (1.49)

                                                                          (1.50)

                              ,                                                      (1.51)

                              ,                                                          (1.52)

допускают ре­шения электрического и магнитного типов; тогда функция U од­нозначно определяет электромагнитное поле электрического типа, функция V - поле магнитного типа.

Решением электрического типа  (или поперечно-магнитным по­лем) – ТМ -  относительно какой-либо координаты  называется такое решение уравнений   (1.49) – (1.52), у которого  и ,а решением магнитного типа (поперечно-электри­ческим полем) - ТЕ  — такое, у которого  и .

Сформулируем принцип поляризационной двойственности. В криволинейной ортогональной системе координат (), обладающими следующими свойствами:

,                                                (1.57)

( называется координатой разделения), решение системы однородных уравнений Максвелла для однородных сред может быть представлено суперпозицией фундаментальных решений ТМ и ТЕ относительно координаты разделения . При этом каждое ТМ и ТЕ решение описывается однокомпонентным электрическим (или магнитным) вектором Герца, направленным по координате .

, ,                                                 (1.58)

где  - единичный орт в направлении координаты .

Докажем это утверждение. Будем искать решение системы уравнений Максвелла в виде суммы , , таких что каждое из решений ,  определяется через электрический и магнитный векторы Герца  и  согласно соотношениям (1.56) при отсутствии источников. Пусть векторы Герца имеют только одну компоненту, т.е. выполняются соотношения (1.58). Нетрудно убедиться, что в этом случае выполняются равенства  и , что соответствует поперечно-магнитному ТМ и поперечно-электрическому ТЕ полям.   Векторы Герца удовлетворяют однородным уравнениям

.                                (1.59)

Будем искать решения этих уравнений в виде

,                                           (1.60)

где f  - некоторая неизвестная функция. Подставим (1.60) в (1.59) и распишем оператор Лапласа от векторной величины по формуле (П1.6) Приложения 1.

                                      (П1.6)

Получим уравнение

,                            (1.61)

где через  обозначена некоторая новая скалярная неизвестная функция. Найдем ее. Для этого распишем проекции уравнения (1.61) в криволинейной ортогональной системе координат () и учтем условия (1.57).  Получим систему уравнений

,                                              (1.62)

,                                            (1.63)

,                                        (1.64)

где  - поперечная часть оператора Лапласа при   (см. формулу (П1.5) Приложения 1)

Интегрируя уравнения (1.62) и (1.63) по  и  соответственно, получаем выражение для неизвестной функции  в виде

,

и, подставив это выражение в уравнение (1.64), находим

Решение этого уравнения есть . Так как выражения для компонент электромагнитного поля инварианты по отношению к добавлению к вектору Герца произвольной функции , то эту функцию можно положить  равной нулю. Таким образом, для электрического и магнитного векторов получаем уравнение

.                                       (1.65)

Компоненты электромагнитного поля находятся из следующих выражений:

для ТМ поля относительно координаты разделения

, , ,

, ,                (1.66)

для ТЕ поля относительно координаты разделения

      , ,

, ,                (1.67)