Теория теплообмена. Теплопроводность. Основные положения теории теплопроводности. Теплопроводность при стационарном режиме. Теплопроводность при нестационарном режиме. Теплообмен при фазовых превращениях, страница 28

2) Равнодействующая сил давления df₂: если на верхней грани элемента действует давление p, то на площадку  действует сила . На нижнюю грань действует давление с точностью до второго члена разложения в ряд Тейлора: . Знак «–» указывает на то, что сила направлена против движения.

                                       .

3) Сила трения возникает на боковых поверхностях элемента. Т. к. скорость w_x изменяется только в направлении оси Oy, то сила трения, направленная против течения, будет равна алгебраической сумме:

                                    .

Сумма этих сил есть равнодействующая всех сил, приложенных к элементу (с учетом того, что  и касательная сила ):

                               .                                                                   (4)

С учетом сил инерции на основании второго закона механики равнодействующая df

                                                                              (5)

равна произведению массы элемента  на его ускорение .

Приравнивая (4) и (5), получаем уравнение движения вдоль оси Ox:

                                             .         (6)

По аналогии, для трехмерного течения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами:

ось Ox:

                               ;                                                                   (7)

ось Oy:

                              ;                                                                   (8)

ось Oz:

                               ;                                                                   (9)

Уравнения (7) – (9) называются уравнениями Навье-Стокса. Все слагаемые имеют размерность силы, отнесенной к единице объема: Н/м³.

Представим левые части уравнений (7) – (9) как полные производные:

                                   ;                                                                  (10)

                                   ;                                                                  (11)

                                    .                                                                  (12)

В уравнениях (10) – (12) производные , , характеризуют изменение скорости во времени в какой-либо точке (локальное изменение), а остальные слагаемые – изменение скорости при переходе из одной точки в какую-либо другую (конвективное изменение скорости). Используя векторную форму записи, получим:

                                                .          (13)

Это уравнение движения.

Если в этом уравнении учесть изменение плотности среды во времени от воздействия температуры среды через коэффициент объемного расширения:

                                                        ,

где   , то уравнение движения примет вид:

                                        ,

или в конечном итоге:

                                              .        (14)

Т. к. в уравнение (14) входит неизвестная величина давления p, то система не замкнутая. Необходимо еще одно уравнение – уравнение сплошности.

5.2.3. Уравнение сплошности

Выделим в потоке жидкости неподвижный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем массу жидкости, проходящей через него за время dt.

Рис. 41. К выводу уравнения сплошности

В направлении оси Ox втекает масса:

                                                     ,                 (*)

а вытекает:

                                                 .

Ограничиваясь разложением в виде двух первых членов ряда, получим массу  по оси Ox в виде:

                                       . (**)

Вычитая из (**) выражение (*), получим излишек вытекающей из элементарного объема массы:

                                            .         (а)

Аналогично в направлении других осей:

                                            .        (б)

                                            .         (в)

Суммируя по трем осям, получаем избыток массы, обусловленный изменением плотности жидкости в объеме dv, который равен изменению массы данного объема во времени . Тогда окончательный вид уравнения сплошности жидкостей: