Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 8

З а м е ч а н и е 4. В 1694-97 гг. Иоган Бернулли разработал метод “разделения переменных”.

П р и м е р 4. Найти частное решение дифференциального уравнения , если .

Р е ш е н и е.  умножив на , получим  - это уравнение вида (2.10). Полагая , получаем ;  или  или  - общее решение. Используя начальные условия, получаем , откуда . Искомое частное решение .

г) Уравнение вида:

,                                                 (2.13)

где , ,  - заданные постоянные величины, сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой:

.                                                     (2.14)

Действительно, из (2.14) находим , откуда  и уравнение (2.13) запишется

.

Полагая , получаем

, .

Вычислив интегралы, получим общий интеграл . Учитывая замену, получаем  - общий интеграл.

П р и м е р 5. Найти общий интеграл уравнения .

Р е ш е н и е. Это уравнение вида (2.13). Полагая , находим , откуда . Подставляем в уравнение  - это уравнение с разделяющимися переменными: ;  ()  или  - общий интеграл.

2.3 Однородные дифференциальные уравнения

Функция  называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество

.                                               (2.15)

Например, функция  есть однородная функция второго измерения, так как

.

При  имеем функцию нулевого измерения. Например,   есть однородная функция первого измерения, так как:

.

Уравнения вида

,                                                          (2.16)

в которых правая часть (функция ) является однородной функцией нулевого измерения называют однородным относительно  и . Например, однородными являются уравнения ; , так как их правые части являются однородными функциями нулевого измерения.

Покажем, что однородные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пусть для уравнения (2.16) выполняется условие . Тогда, положив , получим равенство:

и таким образом делаем вывод, что в однородных уравнениях (2.16) правая часть фактически является функцией от переменной .

Вводим замену . Тогда  и однородное уравнение (2.16) запишется  или . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем , . Интегрируя, получаем . Учитывая замену , получаем общий интеграл однородного уравнения . Если , то уравнение может иметь ещё решения (может, особые).

П р и м е р 1. Найти общий интеграл уравнения .

Р е ш е н и е. , функция  однородная нулевого измерения. Представим уравнение в виде . Замена . Представляем: ; ; ; ; . Так как , то  - общий интеграл. При делении на  потеряно решение , .

О т в е т: , .

З а м е ч а н и е 1. Уравнение вида

,                                                  (2.17)

в котором функции  и  являются однородными функциями одного и того же измерения, тоже является однородным. Его легко преобразовать к виду (2.16) . Положив , получаем  или , где функция  является однородной функцией нулевого измерения. В самом деле, .

З а м е ч а н и е 2. В 1694 г. Иоган Бернулли разработал метод сведения однородных уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными.

П р и м е р 2. Проинтегрировать уравнение:

Р е ш е н и е. ; ;  замена . Подставляя в уравнение ; ; ; ; ; ; так как , то ;  - общий интеграл уравнения.

О т в е т: .

З а м е ч а н и е 3. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду . Можно сразу делать подстановку .

П р и м е р 3. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Это однородное уравнение, так как его можно записать в виде , где правая часть – однородная функция нулевого измерения. Тогда замена . Подставляя в уравнение выражение для  и , получаем . Сокращая на , получаем . Разделяем переменные . Интегрируя, находим ;  или  или ; ; .

При делении на произведение  могли потерять решение, обращающее в ноль это произведение. Проверим, не будут ли решениями  и , то есть . Находим, что функция  также является решением этого уравнения.

О т в е т: , .

2.4 Уравнения, сводящиеся к однородным

Уравнения, которые при помощи определённой замены переменных приводятся к однородным, называют обобщённо-однородными.