Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 27

П р и м е р 4. Имеет ли уравнение особое решение?

Р е ш е н и е. Правая часть этого уравнения непрерывна, но  неограниченно возрастает при приближении к прямой . Следовательно, на прямой  может нарушаться единственность. Но функция не удовлетворяет заданному уравнению, следовательно, особого решения нет.

П р и м е р 5. Имеет ли уравнение особое решение?

Р е ш е н и е. В данном уравнении - непрерывная функция в любой замкнутой области, где  ( при можно положить, что ). , откуда следует, что .

Следовательно, геометрическое место точек может быть особым решением уравнения. Очевидно, что есть решение исходного уравнения. Проверим, нарушается ли свойство единственности (п.3) в каждой точке решения . Для этого находим общее решение:

.

Решение может быть получено из общего решения при . Поэтому через каждую точку оси OY (кроме точки ) проходит лишь одна интегральная прямая . Значит, особых решений уравнение не имеет.

6.3 Особые решения для уравнений

Рассмотрим вопрос о существовании особых решений дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной

.                                                                 (6.37)

Если функция в некоторой области  трехмерного пространства удовлетворяет условиям теоремы существования неявной функции, то в соответствующей плоскости через каждую точку  по данному направлению проходит лишь одна интегральная кривая уравнения (6.37). Следовательно, особые решения уравнения (6.37) могут проходить лишь через те точки, в которых нарушается условие вышеуказанной теоремы.

В частности, если  непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка, то особые решения следует искать среди тех точек, координаты которых одновременно удовлетворяют уравнениям:

.                                                (6.38)

Если  уравнения (6.38) совместны, т.е. существует значение , удовлетворяющее сразу двум уравнениям из (6.38), то, исключая из них параметр р, мы получим в общем случае некоторое геометрическое место точек , которое может быть особым решением уравнения (6.37).

Геометрическое место точек , получаемых путем исключения параметра р из системы уравнений (6.38), называется р-дискриминантной кривой уравнения (6.37) (РДК).

Таким образом, р-дискриминантные кривые уравнения (6.37), если они существуют, могут быть особыми решениями данного уравнения.

Отсюда вытекает один из способов нахождения особых решений уравнения (6.37). Для этого нужно:

найти его р-дискриминантные кривые, исключив параметр р из системы (6.38);

проверить, являются ли р-дискриминантные кривые интегральными кривыми данного уравнения;

проверить, нарушается ли свойство единственности в точках этих интегральных кривых.

Если пункты 1)-3) выполняются, то полученные таким образом решения уравнения (6.37) есть особые.

П р и м е р 6. Имеет ли уравнение особые решения 

.                                                               (6.39)

Р е ш е н и е. Составляем уравнения для р-дискриминантной кривой:

.

Исключаем параметр р :   (6.40) – р-дискриминантная кривая уравнения (6.39). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что (6.40) есть решение уравнения (6.39).

Так как уравнение (6.39) есть уравнение Клеро, то его общим решением является семейство прямых

.                                                         (6.41)

Тогда видим (рис.23), что через каждую точку интегральной кривой (6.40) проходят  две интегральные кривые: сама кривая (6.40) и прямая из семейства (6.41), имеющие одинаковые направления. Поэтому решение (6.40) есть особое решение уравнения (6.39).

Кроме изложенного выше способа нахождения особого решения дифференциального уравнения (6.37), существует другой способ, в основе которого лежит понятие огибающей однопараметрического семейства кривых.

Пусть имеем однопараметрическое семейство кривых:

,                                                        (6.42)

где с- параметр, изменяющийся на отрезке . Кривая l называется огибающей семейства кривых (6.42), если она в каждой своей точке имеет касательную, общую с одной из кривых заданного семейства  (6.42) (рис.25).