Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 21

Заметим, что, полагая , мы могли потерять решения , где  - действительные корни уравнения . Поэтому этот случай следует рассмотреть отдельно. Если окажется, что уравнение имеет действительные корни , которые, следовательно, будут решениями уравнения (5.79) и эти решения не содержатся в общем интеграле (5.82), то они могут оказаться особыми решениями уравнения (5.79).

П р и м е р 7. Решить уравнение:

.

Р е ш е н и е. Это уравнение вида IV(2), т.к. .

Пусть и    в силу (5.82). Тогда  из (5.82)

.

И общее решение в параметрической форме:

,  .

П р и м е р 8. Решить уравнение:

.

Р е ш е н и е. Это уравнение разрешимо относительно y, поэтому:

,               .

,   или  .

.     ,

где - нули уравнения.    - особое решение.

Рассмотрим уравнение (5.7)

,

полагая , где z – аппликата некоторой пространственной точки М, как , т.е. как уравнение некоторой поверхности S. Но уравнение поверхности S иногда удается записать параметрически:

,                   (5.83)

где u и v – параметры, так что:

.

Предполагая, что функции  и  в области изменения параметров u и v дифференцируемые, имеем:

,  ,

откуда, учитывая, что   ( и  )  , получаем уравнение:

,                       (5.84)

связывающее между собой параметры u и v. Принимая в (5.84) v за независимую переменную, u за искомую функцию, группируя члены с du и dv и предполагая, что , получаем

или:

.

Отсюда получаем уравнение, разрешенное относительно производной:

                                          (5.85)

с непрерывной правой частью. Если данное уравнение интегрируется, то его общее решение  в совокупности с уравнениями   дает общее решение

           (5.86)

исходного уравнения (5.7) в параметрической форме (здесь v – параметр, с – произвольная постоянная).

З а м е ч а н и е. Изложенный метод решения уравнения (5.7) возможен, если: 1) уравнение (5.7) допускает параметризацию; 2) полученное уравнение (5.85) интегрируется.

В частности, например, если уравнение (5.7) можно разрешить относительно y:   , то за параметры u и v можно взять x и y', положив . Получим  . Следовательно, если уравнение (5.85), которое в данном случае запишется:

,

интегрируется, то будет интегрироваться и исходное уравнение.

Например, если уравнение  разрешимо относительно х, т.е. , то  - параметрическое представление уравнения.   из первого уравнения,  из второго. Тогда,  . Разделив на  и на , получим: . Предположим, что последнее уравнение имеет решение  . Тогда, общий интеграл исходного уравнения запишется: 

П р и м е р  9. В качестве примера на изложенную в п. V теорию рассмотрим уравнение Лагранжа:

                              (5.87)

где  - непрерывно дифференцируемые функции.

Р е ш е н и е. Положим  , тогда  (5.87) запишется:

                                (5.88)

Дифференцируя (5.88) и принимая во внимание, что , получаем:

,

откуда:

   ,

или, полагая  , получаем:

 или .        (5.89)

Уравнение (5.89) – линейное. Его решение находится при помощи двух квадратур и имеет вид:

.

Тогда общее решение уравнения (5.87) в параметрической форме запишется:

                                                   (5.90)

Если возможно, исключают параметр p и получают непосредственную зависимость между x и y.

З а м е ч а н и е 1. Выполняя операцию деления на , можно потерять некоторые решения, а именно те, для которых , т.е. решения . Если уравнение имеет указанные действительные корни, то будет решением уравнения  , а прямые:

решениями уравнения (5.87). Причем, эти решения не содержатся в общем решении (5.90) и являются особыми.

З а м е ч а н и е 2. Уравнение (5.87) в литературе связывают с именем Лагранжа, хотя вернее было бы назвать его уравнением Даламбера, который впервые (1750 г.) нашел его общее и особое решения. Лагранж же впервые (в 1774 г.) дал геометрическое толкование особых решений уравнения как огибающих семьи интегральных кривых.

П р и м е р 10. Проинтегрировать уравнение:

.

Р е ш е н и е. Сравнив с (5.87) убеждаемся, что это уравнение Лагранжа, в котором . Поэтому положим . Тогда . Дифференцируя, находим:

, откуда  или  .