Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 10

Рассмотрим сначала однородное уравнение (3.2). Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому:

; .

Проинтегрировав, получим ,  или

,                                                      (3.3)

где  - произвольная постоянная. Из уравнения (3.2) следует, что  тоже является решением уравнения. Поэтому решение (3.3) определяет общее решение уравнения (3.2) для .

Для решения линейного неоднородного уравнения (3.1)  можно указать три способа.

3.1.1 Метод Бернулли

Решение уравнения (3.1) будем искать в виде

,                                                      (3.4)

где  и  - некоторые дифференцируемые функции от . Тогда . Подставляя в уравнение (3.1), получаем , или

.                                        (3.5)

Вполне понятно, что одну из функций  или  можно выбрать произвольно. Значит, подберём  так, чтобы содержимое скобки уравнения (3.5) она обращала в ноль, т. е. была решением уравнения:

,                                                      (3.6)

откуда по формуле (3.3) имеем

.

Для нашей цели достаточно иметь любое частное решение уравнения (3.6), поэтому положим , и

.                                                (3.7)

Подставив найденное значение  (3.7) в уравнение (3.5) получим уравнение с разделяющимися переменными для нахождения :

,

.                                                (3.8)

Поэтому в силу (3.4), (3.7), (3.8) общее решение уравнения (3.1) будет:

.                                 (3.9)

Этот способ применил Иоган Бернулли в 1697 г. Лейбниц же умел решать линейное уравнение подстановкой  немного раньше Бернулли (1693 г.).

П р и м е р  1. Решить задачу Коши:

, .

Р е ш е н и е. Это линейное уравнение, так как его можно представить в виде . Поэтому замена ,

;;

:;;;

.

:;;;

; .

Следовательно, общее решение , или  - общее решение. Используя начальное условие, для нахождения  получаем: . Решением задачи Коши будет .

О т в е т: .

3.1.2 Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Суть этого метода такая: общее решение уравнения (3.1) будем искать в виде (3.3), рассматривая  как функцию от , т. е.  и

.                                                 (3.10)

Подставим (3.10) в (3.1), предварительно вычислив

 ;

.

Поэтому

; ;

.                                                   (3.11)

Подставив (3.11) в (3.10), получаем общее решение

.                              (3.12)

П р и м е р 1. Решить уравнение

.

Р е ш е н и е. 1) Решаем соответствующее однородное уравнение ; ; ;  или .

2) Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где  - неизвестная функция. ; ; ; ; . Тогда общее решение  - общее решение.

З а м е ч а н и е 1. Метод вариации произвольной постоянной разработан также И. Бернулли и опубликован в 1697 г., однако этот метод связывается не с его именем, а с именем Лагранжа. Это можно объяснить тем, что именно Лагранж в 1774-1775 г.г. разработал метод вариации произвольных постоянных для линейного уравнения n-го порядка.

З а м е ч а н и е 2. Линейное уравнение  может иметь особые решения вида , где  - корень уравнения .

3.1.3 Метод Эйлера

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (3.1) находим, умножая это уравнение на интегрирующий множитель

.                                          (3.13)

В результате получаем

.

Так как левая часть этого уравнения представляет собой производную выражения , то , или . Интегрируя последнее равенство, получаем:

,

откуда искомое общее решение:

.                                       (3.14)

Общее решение (3.14) полностью совпадает с общими решениями (3.9) и (3.12), полученными другими методами.

П р и м е р 1. Решить уравнение

.

Р е ш е н и е. В данном случае , , поэтому . Следовательно, интегрирующий множитель . Умножая данное уравнение на , получаем:

; .

Поскольку в левой части равенства образовался дифференциал от произведения , то , интегрируя, получаем ; ;  - общее решение.

3.2 Свойства линейного уравнения и его решений