Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 10

Рассмотрим сначала однородное уравнение (3.2). Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому:

; .

Проинтегрировав, получим , или

, (3.3)

где - произвольная постоянная. Из уравнения (3.2) следует, что тоже является решением уравнения. Поэтому решение (3.3) определяет общее решение уравнения (3.2) для .

Для решения линейного неоднородного уравнения (3.1) можно указать три способа.

3.1.1 Метод Бернулли

Решение уравнения (3.1) будем искать в виде

, (3.4)

где и - некоторые дифференцируемые функции от . Тогда . Подставляя в уравнение (3.1), получаем , или

. (3.5)

Вполне понятно, что одну из функций или можно выбрать произвольно. Значит, подберём так, чтобы содержимое скобки уравнения (3.5) она обращала в ноль, т. е. была решением уравнения:

, (3.6)

откуда по формуле (3.3) имеем

Для нашей цели достаточно иметь любое частное решение уравнения (3.6), поэтому положим , и

. (3.7)

Подставив найденное значение (3.7) в уравнение (3.5) получим уравнение с разделяющимися переменными для нахождения :

. (3.8)

Поэтому в силу (3.4), (3.7), (3.8) общее решение уравнения (3.1) будет:

. (3.9)

Этот способ применил Иоган Бернулли в 1697 г. Лейбниц же умел решать линейное уравнение подстановкой немного раньше Бернулли (1693 г.).

П р и м е р 1. Решить задачу Коши:

, .

Р е ш е н и е. Это линейное уравнение, так как его можно представить в виде . Поэтому замена ,

;;

:;;;

; .

Следовательно, общее решение , или - общее решение. Используя начальное условие, для нахождения получаем: . Решением задачи Коши будет .

О т в е т: .

3.1.2 Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Суть этого метода такая: общее решение уравнения (3.1) будем искать в виде (3.3), рассматривая как функцию от , т. е. и

. (3.10)

Подставим (3.10) в (3.1), предварительно вычислив

;

Поэтому

; ;

. (3.11)

Подставив (3.11) в (3.10), получаем общее решение

. (3.12)

П р и м е р 1. Решить уравнение

Р е ш е н и е. 1) Решаем соответствующее однородное уравнение ; ; ; или .

2) Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где - неизвестная функция. ; ; ; ; . Тогда общее решение - общее решение.

З а м е ч а н и е 1. Метод вариации произвольной постоянной разработан также И. Бернулли и опубликован в 1697 г., однако этот метод связывается не с его именем, а с именем Лагранжа. Это можно объяснить тем, что именно Лагранж в 1774-1775 г.г. разработал метод вариации произвольных постоянных для линейного уравнения n-го порядка.

З а м е ч а н и е 2. Линейное уравнение может иметь особые решения вида , где - корень уравнения .