2.3 Однородные дифференциальные уравнения
2.4 Уравнения, сводящиеся к однородным
В общем случае дифференциальное уравнение I-го порядка можно записать в виде
, (2.1)
или в виде разрешенном относительно производной
, (2.2)
или в симметричной форме:
, (2.3)
где , , , - заданные функции своих аргументов.
Для дифференциального уравнения I-го порядка имеют место введённые ранее понятия решения, общего и частного решения, общего и частного интегралов.
С геометрической точки зрения общее решение дифференциального уравнения I-го порядка представляет собой однопараметрическое семейство интегральных кривых. Частное решение – единственная кривая из однопараметрического семейства , соответствующая конкретному значению параметра . Например, общим решением дифференциального уравнения является однопараметрическое семейство парабол . Положив в общем решении, например, , получим частное решение – единственную интегральную кривую .
Задачей Коши для дифференциального уравнения I-го порядка называют задачу нахождения частного решения, удовлетворяющего заданному начальному условию:
, (2.4)
где , - заданные числа. С геометрической точки зрения решить задачу Коши для дифференциального уравнения I-го порядка значит из однопараметрического семейства интегральных кривых (общего решения) выбрать единственную интегральную кривую, проходящую через заданную точку .
П р и м е р 1. Проверить, что функция является общим решением уравнения , и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Р е ш е н и е. Из вычисляем и, подставляя в уравнение, получаем . Таким образом, общее решение уравнения, геометрический смысл – однопараметрическое семейство интегральных кривых. Из начальных условий получаем . Подставив в общее решение значение получим, .
О т в е т: .
а) Неполные уравнения первого порядка.
I.
. (2.7)
непосредственным интегрированием находим , , .
II.
(2.8)
. Считая функцией, а аргументом и полагая , получаем ; ; - общее решение.
П р и м е р 1. , .
П р и м е р 2. ; ;
- общее решение.
б) Уравнением с разделёнными переменными называют уравнение вида
, (2.9)
в котором и - заданные функции. Общий интеграл находим, интегрируя уравнение , где - произвольная постоянная.
П р и м е р 3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию .
Р е ш е н и е. или - общий интеграл. Используя начальные условия, получаем , откуда . Частное решение - .
в) Дифференциальное уравнение вида:
, (2.10)
в котором коэффициенты при и представляют произведение двух функций из которых одна зависит только от , а другая только от , называют уравнением с разделяющимися переменными.
Полагая, что
(2.11)
и разделив уравнение (2.10) на произведение (2.11), получим уравнение с разделёнными переменными . Проинтегрировав его, получим - общий интеграл уравнения.
З а м е ч а н и е 1. Иногда для разделения переменных вводят разделяющий множитель . Умножив уравнение (2.10) на , получим уравнение с разделёнными переменными.
З а м е ч а н и е 2. Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль это произведение (эти решения могут быть и особыми).
З а м е ч а н и е 3. Уравнение вида
(2.12)
тоже является уравнением с разделяющимися переменными и легко приводится к уравнению (2.10):
; - вид (2.10).
Полагая , получим и - общий интеграл.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.