Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. Основные понятия дифференциальных уравнений. Метод Изоклин, страница 33

.                                          (7.43)

Если бы мы сумели проинтегрировать его, то имели бы:

                                            (7.44)

или:

.                                         (7.45)

Если уравнение (7.45) интегрируется в квадратурах, то задача была бы решена до конца.

П р и м е р 5. Решить уравнение  .

Р е ш е н и е. Это уравнение вида (7.42). Замена

 или

, т.е.  . Тогда .

 Используя начальные условия, находим  : . Тогда . Это уравнение с разделяющимися переменными:

.

Находим  из начальных условий:  . Тогда частное решение запишется .

3)  Уравнение (7.37) однородное относительно искомой функции и ее производных. По условию левая часть уравнения (7.37) удовлетворяет тождеству:

,

где m – показатель однородности. Тогда уравнение (7.37) можно записать в виде:

.                 (7.46)

Замена

 

 и т.д.

Подставляя в (7.46), получаем уравнение (n-1)-го порядка:

.                 (7.47)

Если в (7.47) не входит явно x, то его порядок можно понизить еще на единицу.

П р и м е р  6. Решить уравнение  .

Р е ш е н и е. Это однородная функция относительно y,y' и y". Замена:  и  . Подставляем в уравнение   (т.к. ),    или   - это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его общее решение имеет вид: . Учитывая, что , получаем ,    - общее решение.

4)  Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно x и y в обобщенном смысле, т.е. не меняется от замены  на ,  на  (при этом  заменяется на ,  и т.д., ). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным и найти число m, надо приравнять друг к другу показатели степеней, в которых число k будет входить в каждый член уравнения после указанной выше замены в одинаковых степенях. Например, . Замена: . Получаем  . Чтобы уравнение было однородным, необходимо выполнение равенств  (Если же полученные уравнения будут несовместными, то рассматриваемое дифференциальное уравнение не является однородным в указанном смысле).

Для интегрирования уравнения проводим замену:

, где .            (7.48)

Тогда:

.

Аналогично:

 и  т.д.  .

После проведения замены исходное уравнение не содержит независимой переменной t и поэтому допускает понижение порядка на единицу.

П р и м е р . Решить уравнение  .

Р е ш е н и е. Установим, является ли это уравнение обобщенным однородным уравнением, заменяя , получим: , отсюда: .  Замена:  . Отсюда:  . Тогда  . Сократив на , получаем  . Отсюда: . Это уравнение явным образом не содержит независимую переменную, поэтому замена: . Тогда: . Замена:  ,. Вычислив интеграл, получим . Учитывая, что , получаем:

Исключив параметр t, получаем общее решение:

 .

5)  Уравнения в точных производных. Левая часть уравнения:

                                           (7.49)

является производной некоторого дифференциального выражения (n-1)-го порядка . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде , тогда:  . Таким образом, порядок уравнения понизился на единицу.

П р и м е р 7. Решить уравнение  .

Р е ш е н и е. Это уравнение вида 5), т.к. его можно записать в виде  или . После интегрирования получаем  - общий интеграл.

Если исходное уравнение (7.49) не является уравнением в точных производных, то иногда удается подобрать такую функцию  (интегрирующий множитель), что после умножения на нее уравнение (7.49) становится уравнением в точных производных. При умножении на  могут быть введены лишние решения (решения уравнения ), а также возможна потеря решений (в случае разрывности множителя ).

П р и м е р 8. Решить уравнение  .

Р е ш е н и е. Умножая уравнение на множитель , получаем:

 или

  .

З а м е ч а н и е 1. Линейное уравнение второго порядка

будет уравнением в точных производных тогда, и только тогда, когда , т.е. если оно имеет вид:

.

Тогда его можно представить в виде:

.

Откуда   - линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Отсюда:

.

П р и м е р. Решить уравнение  .

Р е ш е н и е.

Т.к.

.

Решив линейное уравнение, получим общее решение:

.

З а м е ч а н и е 2. Уравнение вида

умножаем на , получаем

;

 - общий интеграл.