Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Отношения бинарные и n-арные

  Основные  понятия теории множеств

Множество – совокупность отдельных, индивидуальных    предметов.

Мн-ва состоят из элементов.

Мн-ва обозначаются:  A, B, A₁, A₂

Элементы обозначаются: a, b

a Î A  , принадлежит мн-ву А

Мн-во конечно, если  все его элементы можно выразить конкретным числом, называемым мощностью мн-ва.             ½А½- мощность мн-ва  А

N- мн-во нат. чисел, бесконечное мн-во.

N  =   0, 1,  2, 3, 4

 

        N =  0, 2, 4,  6

Мн-ва, равнозначные с N – счетные множества.

a

Рациональные  числа:  с=         , где  a,b ÎN.  Мн-во  рац. чисел счетное.

b

Способы задания мн-в

1. Перечисление   A={a, b, 5}

2. Св-ва  элементов       B={b_i/(b_iÎN)&(b_i>3)}

3. Индуктивный 

1)0ÎN

2)если n_iÎN ,то n_i+1Î N

4. Алгебраический

A ÈB – формула

5. Визуальный

Подмножества

A – подмн-во B

AÎB

AÍB – содержится, но может и совпадать              

Теорема. A = B тогда и только тогда, когда AÍB    и BÍA

_~

A - булеан

 _~

A={a, b, c} ,  A={0,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}

 _~

A=2ⁿ ,если |A| = n

                   _~

A =Æ , A ={Æ}

Операции над мн-ми

1.  Объединение.     AÈB=C

2.  Пересечение.      AÇ B=C

3.  Сумма.     A+B=C

4.  Разность.    A\B=C

_         

5.  Дополнение к мн-ву А.  A=C=U \ A

универсальное мн-во

                                 A+B

_       _                            È

A+B = (AÇB)È(AÇB)                 /         \                                         

_                                Ç           Ç

A \ B = AÇB                            /      \        /    \

A      _   _       B

|    |         

B   A      

Законы

1.  Комутативный.

AÇ B = B Ç A

AÈ B =  BÈ A   

2.  Ассоциативный

A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C = ABC

A È (B È C) = (A ÈB) ÈC

3.  Дистрибутивный.

(AÈ B) ÇC = (A Ç C)È(B Ç C)   

(AÇ B) ÇC = (A È C)Ç(B ÈC)

4.  Иденпотентности (равносильности).

AÈA=A  ,AÇA=A

5.  Де Моргана.

___     _   _          ₌

AÈB= AÇB   ,    A=A

6.  Законы с пустым мн-вом.

    A È Æ = A, A È U = U

A Ç Æ = Æ, A Ç U = A

A È A = U , A Ç A = Æ

7.  Законы поглощения

AÈAB = A

(AÇU)È(AÇB)=A= AÇ(UÈB)=AÇU=A

AÇ(AÈB)=A

AAÈAB=AÈAB=A

_                       _        

ABÈACÈBC=ABÈAC   ;  

_                          _              _                  _                  _                 _ 

ABÈACÈUBC=ABÈACÈ(AÈA)BC=ABÈACÈABCÈABC=ABÈAC

Отношения бинарные   и   n – арные.

1. Прямое произведение   мн-в.

AxB = {(a,b)/aÎA, bÎB}               

|AxB| = |A| x |B| ;     (A x B) x C= A x (B x C) ;    A x B¹ B x A

A x B –  бинарное отношение

A x B x C – тернарное отношение

Отношение – подмножество выделенных пар.

Бинарные  операции могут  рассм. и на одном мн-ве      A x A = A²

Отношение: RÍ A x B

R={(a1,b1), (a2,b2), (a3,b3), (a4,b4), (a5,b5), (a6,b6), (a7,b7), (a8,b8),}

Проекция на A – область определения

Проекция на B – область значений

Элемент a1, нах. в заданном  соотв. с b3,b5

Мн-ва этих значений -  образ эл. a1

Сюрекция : для "а®один из В – область значений функции совпадает с В.   î

Инъекция : разные а® разные b – в каждом столбце не более одной 1.          ò сюрекция

Фун-я f : A®B – отображение мн-ва А в мн-во В.

Последовательности :   f : N®D     , где  D – мн-во действительных чисел;

Функционалы :   f : F®D                           N – мн-во натуральных чисел;

Операторы :   f : F®F                                 F – мн-во всех ф-ий действит-ых переменных.

2.       Объединение                                  

S

        

1	0	0	1	1	0
0	0	0	1	1	0
1	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	1

3.  Композиция соответствий

RS – композиция

X          Y          Z                           X         Z

    R                S                                   RS

RS={(x,z)/ $ y:(x,y)ÎR,(y,z)ÎS}

4.  Функциональное отношение.

      В

А                                                                                                    

Область опред. ф-ии

  

1	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0
0	0	0	0	1	0

                   ÚÚ             Ú

обл. значений ф-ии

xÎA – аргумент ф-ии.

yÎB – ф-ия.

Если каждому xÎA соотв. только один yÎB, то это ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ.

Если разным элементам соответствуют разные значения, то инъекция.

Если отобр. Инъективно и сюръективным, то биктивное.

Если биктивное отношение рассм. на А^2, т.е. А=В, то это подстановка.