Функции нескольких переменных. Формула Тейлора

10   ФУНКЦИИ  НЕСКОЛЬКИХ  ПЕРЕМЕННЫХ (продолжение)

10.1  Формула Тейлора

Мы научились заменять полное приращение функции её дифференциалом 1–го порядка:

f(x₀ +Dx, y₀ +Dy) –  f(x₀, y₀) » df(x₀, y₀).

Обозначая    можно записать это так:

Но это приближение самое грубое, линейное. Уточнением и обобщением этой формулы является формула  Тейлора.

Теорема 1. Пусть функция f(x,y) имеет в окрестности U_eточки (x_o,y_o) непрерывные частные производные до  (n+1)–го порядка включительно. Тогда для любой точки  (x,y) из  U_e справедлива формула Тейлора:

, где  значения  дифференциалов вычисляются для приращений   , а остаточный член  r_n  можно записать в форме Лагранжа:

(c₁, c₂) – точка на отрезке, соединяющем точки  (x_o,y_o)   и   (x,y) .

Доказательство. Здесь читателю полезно вспомнить формулу Тейлора для функций одной переменной, подробно изученную в разделе 5.3. Во–первых, сейчас мы будем её применять, а во–вторых она просто похожа, аналогична формуле, рассматриваемой здесь.

Заметим, что  "tÎ[0,1]  точка  лежит на прямолинейном отрезке, соединяющем точки (x_o,y_o), (x,y).  (Не забывайте: ).

Рассмотрим функцию   Это суперпозиция  двух линейных функций  одной переменной t и функции f(x,y). Из теоремы  о дифференцировании сложной функций (теорема 13 из 9.4.2) следует, что F(t) является n+1 раз непрерывно дифференцируемой (т.е. её (n+1)–я производная является непрерывной функцией). Значит,  для   F(t) справедлива формула Тейлора (см. 5.3):

В частности, при  t= 1 получаем:

Используя определение функции F(t) , убедимся, что это и есть та формула, которую требуется доказать.  Действительно,     

F(0)= f(x_o,y_o).

Для вычисления   F¢(t) пользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

.

Аналогично находим 

,

.

По этим же правилам вычисляются и остальные слагаемые в формуле. При вычислении остаточного члена подставляем не  t = 0,а  t = c,  cÎ[0, 1] . В результате получим дифференциал (n+1)–го порядка dⁿ⁺¹f не в точке (x_o,y_o), а в точке  Теорема  доказана.

Замечание. Остаточный член  r_n  можно записать в другой форме – форме Пеано:

, т.е.  r_n  является бесконечно малой более высокого порядка, чем n–я степень модуля полного приращения переменных . Чтобы это доказать, используем формулу для дифференциала  n–го порядка  (см. 9.4.3):

.

Пользуясь «неравенством треугольника», оценим модуль  r_n :

.

Так как ясно, что   ,  то

.

Докажем, что функция, заключённая в квадратные скобки, ограничена. Для этого нам придётся уменьшить нашу окрестность U_e точки (x_o,y_o) – рассмотреть, например, замкнутый круг  радиусом  с центром в точке (x_o,y_o). Все частные производные , по условию, непрерывны, а значит ограничены на компактном множестве K (теорема 9 из 9.3). Теперь ясно, что существует число  M такое, что при малых  

.

Следовательно,   .    Значит

.

Правая часть стремится к  0 при  ,  поэтому

.

Формула Тейлора для более общего случая функции  k  переменных записывается (и доказывается)  аналогично.   Если  в  некоторой  окрестности  точки   P_oÎR^k  функция          f= f(x₁, x₂, ..., x_k) имеет непрерывные частные производные до (n+1)–го порядка включительно, то для любой точки  P из этой окрестности

причём    .

10.2  Экстремумы функций нескольких переменных

Пусть  f= f(x₁,x₂,...,x_n)– функция n переменных, определённая на множестве DÍRⁿ.Пусть  P_o – внутренняя точка множества D. Точка P_o называется точкой локального  максимума  функции  f,  если существует окрестность  Uэтой точки, такая, что

"PÎU     f(P)£  f(P_o).

Аналогично определяется точка локального минимума:

P_o – точка локального минимума    Û$U = U(P_o): "PÎU    f(P) ³ f(P_o).

Если в определениях заменить неравенства на строгие, то получим определения строгих  локальных максимумов и минимумов.

Нахождение экстремумов (максимумов, минимумов) – наиболее важный элемент в исследовании функции. Поэтому мы подробно рассмотрим  эту задачу.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если P_o– точка локального экстремума функции  f ,  и в этой точке существует частная производная    по какой–либо из переменных, то 

Доказательство. Пусть  P_o = (x_o1, x_o2, ..., x_on).Зафиксируем у функции f значения всех переменных, кроме x_i . Получим функцию одной переменной:

f(x₀₁, ..., x_0i–1, x_i, x_0i+1, ..., x_0n).

Из условия следует, что при  x_i = x_0i  эта функция имеет экстремум. Значит, по теореме Ферма (см 5.1), её производная равна 0. Но эта производная, по определению, и есть частная производная . Следовательно,

Следствие.Если функция f дифференцируема в точке экстремума P₀ , то все её частные производные в этой точке равны  0, а значит  df(P₀)º0.