Теорема
6. Пусть уравнение F(x,y)= 0 определяет в
окрестности точки (x0,
y0) неявную функцию y= y(x). Пусть
непрерывны в этой окрестности,
. Тогда функция y = y(x) дифференцируема,
причём
.
Доказательство.
Дадим переменной х приращение . Тогда функция y(x) получит приращение
:
Рассмотрим
соответствующее ,
приращение
функции F(x,y). Так как
F(x0,y0)= 0, то
.
В любой точке х рассматриваемой окрестности F(x,
y(x))= 0,
поэтому . Значит,
.
Так как частные производные функции F(x,
y) непрерывны, то приращение
можно
(теорема 12, 9.4.2) записать в виде:
,
причём lim e1
= lim e2 = 0при
.
Отсюда следует, что
т.е.
. Переходя к пределу при
, получим
то, что требуется:
.
Пример
5. Найти производную функции y= y(x), заданной неявно уравнением в
окрестности точки (2, –3).
Решение.
Находим частные производные функции :
Так как , то неявная функция определена, и
её производная
. В
частности,
Замечание. В этом примере функцию y= y(x)можно задать явно:
,
.
Теперь её производная вычисляется по обычным правилам:
.
Однако первый способ потребовал меньше вычислений. А иногда перейти к явному заданию невозможно.
Пример
6. Найти производную функции, заданной в окрестности точки (0, p)уравнением
cos(x+y)+3x+y
= p–1.
Решение. Здесь нельзя выразить y через x явно. Пусть F(x, y) = = cos(x + y) + 3x + y – p+ 1. Тогда F(0, p) = 0, а частная производная
.
Значит, по теореме 5, в окрестности точки x = 0 определена неявная функция. Так как
, то её производная в точке x = 0 равна:
Функция нескольких переменных тоже может быть задана неявно. Условия существования такой функции и формулы для её частных производных аналогичны рассмотренным выше, приведём их без доказательства.
Теорема
7. Пусть в окрестности точки P0(x01,x02,...,x0n,y0) пространства Rn+1 функция F(x1,...,xn,y) и её первые частные производные непрерывны. Если F(P0) = 0,
а , то равенство F(x1,...,xn,y) = 0 задаёт в окрестности точки (x01,...,x0n) функцию y = y(x1,...,xn), причём её частные
производные можно вычислить по формулам:
Рассмотрим теперь вопрос о системе неявных функций. По определению, система равенств
(*)
неявно задаёт функции
если эти функции j1, ..., jm определены на некоторой области UÍRn , причём
"(x1,...,xn)ÎU, "i= 1,...,mfi(x1,...,xn,j1(x1,...,xn),j2(x1,...,xn),...,jm(x1,...,xn)) = 0.
Сформулируем условия, при которых система (*) определяет неявные функции y1, ..., ym . Для этого нам потребуется понятие якобиана. Якобианом (или определителем Якоби) системы функций
f1(x1,...,xn,y1,...,ym), ..., fm(x1,...,xn,y1,...,ym)
по переменным y1, ..., ym называется определитель
.
Конечно, якобиан является функцией от переменных x1, ..., xn, y1, ..., ym.
Теорема
8. Пусть в системе (*) функции
f1, ..., fm и
их частные производные первого порядка по всем переменным непрерывны в
некоторой окрестности E точки P0(x01,...,x0n,y01,...,y0m),
причём fi(P0)= 0("i). Пусть выполнено условие: . Тогда
система (*) неявно задаёт функции
y1 = j1(x1,...,xn), y2 = j2(x1,...,xn), ..., ym = jm(x1,...,xn)
на некоторой окрестности UÍRn точки (x01,...,x0n), причём
ji(x01, ..., x0n)= y0i , i= 1, 2, ..., m.
Доказательство рассмотрим только для частного случая, когда в системе (*) все равенства линейны относительно y1, ..., ym. Подробнее, пусть система (*) имеет вид:
, где aij(x1,...,xn),ak(x1,...,xn)–непрерывные
функции. Заметим, что aij(x1,
..., xn)=
,
т.е. определитель системы является якобианом:
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.