4. Дайте определение частоты события.
5. Что такое условная частота события?
6. Как Вы понимаете невозможное и достоверное (детерминированное) события? Приведите примеры невозможных и достоверных событий.
7. Какие события называются несовместными в данном опыте?
8. Сформулируйте основные свойства частот:
1) Какие значения может принимать частота события?
2) Чему равна частота невозможная события?
3) Чему равна частота достоверного события?
4) Как определяется частота совместного появления двух событий?
9. Дайте определение вероятности события.
10. Как Вы понимаете равновозможные исходы опыта? Приведите примеры равновозможных исходов опыта.
11. В чем заключается схема случаев?
12. Когда применяются геометрические вероятности? Приведите примеры.
13. Как вычисляются условные вероятности в схеме случаев? Приведите примеры вычисления условных вероятностей.
2.3. Основные теоремы теории вероятностей
Объединение двух или нескольких событий. Пересечение двух или нескольких событий. Свойства объединения и пересечения событий. Геометрическая интерпретация объединения и пересечения событий. Противоположные события. Теорема сложения вероятностей. Следствия 1 и 2, вытекающие из теоремы сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Следствия 1 и 2, вытекающие из теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Бейеса).
Литература: [1, гл. 3, п. 3.1…3.5].
Для успешного усвоения основных теорем теории вероятностей необходимо хорошо знать алгебру событий. При этом нужно учесть, что свойства объединения (суммы) и пересечения (произведения) событий такие же, как у действий над числами. Однако не следует путать событие с числом, как это нередко бывает. Значительно упрощает понимание материала данного раздела геометрическая интерпретация действий над событиями. При этом достоверное событие можно представить как бесконечное плоское множество, а невозможное событие – как элементарную точку, все же остальные события – как ограниченные плоские множества, занимающие промежуточное положение между достоверным и невозможным событиями. При доказательстве теорем следует широко пользоваться методом полной индукции. Необходимо четко усвоить такие понятия как: полная группа событий, полная группа несовместных событий, зависимые и независимые события. Серьезное внимание нужно обратить на следствия, вытекающие из теорем сложения и умножения вероятностей, так как они имеют огромное практическое значение.
1. Что такое сумма двух или нескольких событий?
2. Что такое произведение двух или нескольких событий?
3. Как Вы понимаете элементарное событие?
4. Какими свойствами обладают действия над событиями?
5. Дайте определение противоположному событию.
6. Чему равна сумма событий: А + А, А + Ā, А + Ω, А + Ø? Здесь Ω – достоверное событие, Ø – невозможное событие.
7. Чему равно произведение событий АА, ĀА, АΩ, АØ?
8. Чему равна сумма А + В и произведение АВ, если В является подсобытием события А? Дайте геометрическую интерпретацию.
9. Докажите справедливость равенств:
Ā·В = А + В и С + D = С D.
10. Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей для несовместных событий.
11. Что такое полная группа событий?
12. Сформулируйте и докажите следствия 1 и 2, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.
13. Используя геометрическую интерпретацию, сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий. При этом запишите формулы для следующих вероятностей:
а) Р(А + В) = ? Р(АВ) = ?
б) Р(А + В +С) = ? Р(АВС) = ?
с) Р(А1 + А2 + … + Аn) = ? Р(А1А2…Аn) = ?
14. Какие события называются независимыми, а какие – зависимыми?
15. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для двух событий.
16. Сформулируйте и докажите следствия 1 и 2, вытекающие из теоремы умножения вероятностей.
17. Запишите теорему умножения вероятностей для произвольного числа:
а) зависимых событий;
б) независимых событий.
18. Дайте вывод формулы полной вероятности.
19. Дайте вывод формулы Бейеса.
2.4. Повторение опытов
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.