Спектры непрерывных и решётчатых функций. Свойства дифференциальных и разностных уравнений

Лекция 3 проф.

1. 5. Спектры непрерывных и решётчатых функций

На предыдущей лекции мы изучили взаимосвязи этих двух видов функций во временной области. Более того, мы сопоставили свойства дифференциальных и разностных уравнений, которые являются базой для получения математических моделей аналоговых и дискретных САУ. Теперь логично сопоставить их свойства в частотной области.

На рис. 1. 3 представлена функциональная схем некой дискретной (импульсной или цифровой) системы, где g(t) - непрерывный сигнал; ИИЭ – идеальный импульсный элемент с периодом квантования Т; НЛЧ - непрерывная линейная часть системы.

е()             e[n, 0]                        

(-)                       Т

Рис. 1. 3.

Здесь непрерывный сигнал ошибки е () квантуется ИИЭ и превращается в решётчатую функцию e[n, 0], которая сглаживается, как фильтром, непрерывной частью НЛЧ, формируя на выходе аналоговый сигнал . Следовательно, в любой подобной ДСАУ имеются один и более ИИЭ, которые преобразуют непрерывные функции времени в решётчатые. Изучим свойства таких преобразований.

В 1951г американский ученый Лайнвилл (Linwill W.K.[1]) предложил формулу преобразования Лапласа для РФ. Пусть  – изображение по Лапласу непрерывной огибающей функции, а  – изображение по Лапласу соответствующей РФ. Тогда:

,                                                                      (1.3)¹⁾

где  - частота квантования.

Представим, что , и рассмотрим изображения единичной функции и соответствующей ей РФ по Лапласу.  - изображение единичного сигнала. Его амплитудно-фазная характеристика

_________________________________________________________________

¹⁾Примечание 1. Есть небольшое, но практически важное уточнение выражения (1. 3.). В работе [1] предлагается использовать его в таком виде: +0,5 f_T(0⁺), в единственном случае. Если и степень полинома A(s) только на единицу меньше степени полинома B(s). Наше суждение о достоверности формулы (1. 3.) приведено в конце текста лекции (примечание 4).

(АФХ) будет: . Соответственно,

,                                                                   (2.3.)

На рис. 2. 3 красным цветом изобразим график модуля АФХ  -  это будет спектр огибающей функции f_T(t), аналогично черным цветом изображен график  - модуль АФХ решётчатой функции f[nT] - спектр дискретного сигнала.

Рис. 2. 3.

Сопоставляя эти графики, можно сделать такие важные выводы.

1. При дискретизации сигнала идеальным импульсным элементом, непрерывную функцию ²⁾невозможно воспроизвести (восстановить) без погрешности. Это вызвано тем, что спектр дискретного сигнала G*(w) существенно отличается от основного спектра входного непрерывного сигнала G_T(w) за счет появления многочисленных "боковых" составляющих (пунктирные кривые) и их "перекрытий", т.е. взаимных наложений основного и боковых составляющих спектров.

2. Часто для уменьшения погрешности дискретизации предлагают в ДСАУ увеличить w_к.. Это верно, но тогда уменьшается интервал квантования T. Однако есть предел реального времени для формирования алгоритма

_________________________________________________________________

            ²⁾Примечание 2. Можно выбрать и любую другую непрерывную функцию, полученную в виде реакции на регулярный сигнал. Это не изменит суть изображений рис 2. 3. Например, выберем экспоненту (апериодическое звено первого порядка). Тогда

В первом случае записана реакция на "единичный скачек", а во втором - на "дельта - импульс". Но всегда

программной реализации регулятора дискретной системы или другие физические ограничения. Поэтому возможности  уменьшения  T ограничены пределом T_min. Если же известно, что в конкретной физическоймодели, изучаемой (исследуемой  или проектируемой) САУ, нет ограничений для  выполнения условия , то такую систему следует изучать как непрерывную - аналоговую. Тогда свойства математической модели такой САУ уже не будут иметь никакого отношения к данному курсу, что было подчеркнуто во введении.

3. Многие авторы [1, 3, 6, 22 и др.] полагают возможным  спектр огибающей  ограничить частотой, , при которой модуль спектра равен нулю (см. рис 3. 3.). Тогда остается (по их мнению) бороться только с "боковыми "составляющими спектра РФ , но не с "перекрытиями", которые максимальны при частотах .

ω₁

ω₃

Рис. 3. 3.

Такое предложение разумно для каких то систем, предназначенных только для отработки периодических воздействий с небольшим числом близких гармоник с частотами ω₁ ω₃ ω₅ ω₇ ω₁₁ и убывающей амплитудой. Спектр такого сигнала представляет собою линии на указанных(±) частотах, (как на рис. 3. 3). Однако трудно представить практическое назначение электромеханической системы (ЭМС), отрабатывающей такие воздействия. При любых других регулярных сигналах (см. прим.1) избежать перекрытий в спектре РФ невозможно

Итак, изменение частоты квантования или даже ограничение модуля спектра входного непрерывного сигнала не освобождает дискретное преобразование информации от погрешности, связанной с наличием боковых составляющих спектра РФ в ДСАУ.