Классификация движений плоскости. Композиции простейших движений. Применение движений плоскости к решению задач

Классификация движений плоскости.               Таблица 1.

                    § 1.5. Композиции простейших движений

При последовательном выполнении двух движений плоскости результирующее преобразование будет тоже движением, так как на каждом из двух этапов будут сохраняться расстояния между точками в их образах.

Решение.  Рассмотрим последовательное выполнение двух симметрий плоскости относительно произвольных осей  l и g. Двукратное изменение ориентации фигуры равносильно ее восстановлению. Значит, () - одно из движений первого рода (см. табл.1.). Уточнение будет в зависимости от взаимного расположения прямых l и g.

а) Если оси  l и g  совпадают, то = Е (тождественное преобразование).

б) Если l || g (Рис.15),  то = (параллельный перенос  получается потому, что данное движение первого рода не имеет неподвижных точек). Вектор

изображается равными направленными отрезками М₁М₂=К₁К₂=…  и имеет длину М₁М₂=2(q+m) вдвое большую, чем расстояние (q+m) между осями l и g.

в) Если l∩g=0, (Рис.16), то движение  имеет ровно одну неподвижную точку О. Значит, оно является поворотом  вокруг точки О пересечения осей  l и g Угол    в два раза больше угла между осями .

Действительно, любое движение D₁ может быть (см. табл.1.) либо тождественным преобразованием, либо поворотом, либо параллельным переносом. В каждом из рассмотренных в задаче 1 случаях а), б), в) композиции двух симметрий можно воссоздать искусственно. При этом одну из осей (например, ось l) можно назначить произвольно,  удовлетворяя одному из условий:

а) для тождественного преобразования оси l и g  должны быть совпадающими;

б) для поворота ось l  должна пройти через точку О, предлагаемую в качестве центра поворота. Тогда прямую g проведем через О под углом /2 к оси l (в нужном направлении);

Примечание: если отложить угол /2  «не в ту сторону», то результирующий поворот изменит направление. в) для параллельного переноса построим осьl  (под прямым углом к направлению требуемого вектора). Тогда вторая ось ось g проводится единственным образом параллельно  l  на расстоянии  /2  (с учетом направления переноса).

Для доказательства остается рассмотреть движение второго рода, которое (см. табл.1.) равносильно скользящему отражению  . Представляя параллельный перенос двумя симметриями, получаем нужный результат.

Решение. Симметрия относительно оси Ох ранее была описана системой (1). Пусть теперь при симметрии относительно “наклонной” оси gпроизвольная точка М₁(х₁, у₁) отобразилась в М₂(х₂, у₂) (Рис.17). Обозначим ось Ох через  l  и рассмот-