Классификация движений плоскости. Композиции простейших движений. Применение движений плоскости к решению задач

Страницы работы

13 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Классификация движений плоскости.               Таблица 1.

Род

Название движения

Неподвижные точки

Инвариантные прямые

I

Тождественное       преобразование  Е

Все

Все

I

Параллельный          перенос    

Нет

Всякая

I

Поворот

Центр О

Нет

, число k-нечетно

Центр О

Всякая прямая  l, проходящая через О

II

Скользящее отражение       

Нет

ось l

II

Осевая симметрия  Sl

все точки оси l

Всякая прямая

                    § 1.5. Композиции простейших движений

При последовательном выполнении двух движений плоскости результирующее преобразование будет тоже движением, так как на каждом из двух этапов будут сохраняться расстояния между точками в их образах.

          Задача 1. Чему равносильна композиция двух осевых симметрий?

Решение.  Рассмотрим последовательное выполнение двух симметрий плоскости относительно произвольных осей  l и g. Двукратное изменение ориентации фигуры равносильно ее восстановлению. Значит, () - одно из движений первого рода (см. табл.1.). Уточнение будет в зависимости от взаимного расположения прямых l и g.

а) Если оси  l и совпадают, то = Е (тождественное преобразование).

б) Если l || g (Рис.15),  то = (параллельный перенос  получается потому, что данное движение первого рода не имеет неподвижных точек). Вектор

изображается равными направленными отрезками М1М21К2=…  и имеет длину М1М2=2(q+m) вдвое большую, чем расстояние (q+m) между осями l и g.

Рис.15

Рис.16

в) Если lg=0, (Рис.16), то движение  имеет ровно одну неподвижную точку О. Значит, оно является поворотом  вокруг точки О пересечения осей  l и g Угол    в два раза больше угла между осями .

       Композиция двух осевых симметрий равносильна либо тождественному преобразованию, либо параллельному переносу, либо повороту плоскости (в зависимости от взаимного расположения осей).

          Замечание. Всякое движение первого рода удастся представить в виде композиции двух осевых симметрий.

Действительно, любое движение D1 может быть (см. табл.1.) либо тождественным преобразованием, либо поворотом, либо параллельным переносом. В каждом из рассмотренных в задаче 1 случаях а), б), в) композиции двух симметрий можно воссоздать искусственно. При этом одну из осей (например, ось l) можно назначить произвольно,  удовлетворяя одному из условий:

а) для тождественного преобразования оси l и должны быть совпадающими;

б) для поворота ось l  должна пройти через точку О, предлагаемую в качестве центра поворота. Тогда прямую g проведем через О под углом /2 к оси l (в нужном направлении);

Примечание: если отложить угол /2  «не в ту сторону», то результирующий поворот изменит направление. в) для параллельного переноса построим осьl  (под прямым углом к направлению требуемого вектора). Тогда вторая ось ось g проводится единственным образом параллельно  l  на расстоянии  /2  (с учетом направления переноса).

         Теорема. Всякое движение плоскости можно представить в виде не более трех осевых симметрий.

Для доказательства остается рассмотреть движение второго рода, которое (см. табл.1.) равносильно скользящему отражению  . Представляя параллельный перенос двумя симметриями, получаем нужный результат.

Пример. Вывести формулы пересчета координат точек при симметрии относительно произвольной оси  g, проходящей через начало координат под углом β к горизонтальной оси Ох .

Решение. Симметрия относительно оси Ох ранее была описана системой (1). Пусть теперь при симметрии относительно “наклонной” оси gпроизвольная точка М11, у1) отобразилась в М22, у2) (Рис.17). Обозначим ось Ох через  l  и рассмот-                                                                   

Рис.17

рим композицию  . Она равносильна (см. задачу 1) повороту  на угол  α=2β вокруг точки О. Обе части формулы = ”домножим справа” на  Sl  , то есть оба движения предварим симметрией Sl :

=.

Цель этого приема в том, чтобы исключить композицию SlSl=E , так что в результате получим 

= .    

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Алгебра
Тип:
Учебные пособия
Размер файла:
358 Kb
Скачали:
0