Математика \ Алгебра

Классификация движений плоскости. Композиции простейших движений. Применение движений плоскости к решению задач, страница 4

Рис.22          

2) Дана прямая lи две окружности по разные стороны от нее (на рис.22 изображены сплошными линиями). Построить ромб АВСD так, чтобы его диагональ АС заданного размера лежала на прямой l, а вершины В и D – по одной на заданных окружностях.

Решение основано на внутреннем свойстве симметрии ромба относительно диагонали. При такой симметрии вершина В отображается в вершину D. Положения этих точек определятся вновь «перегибанием» всей плоскости по прямой l. Образ второй окружности пересечет первую в искомой точке. Задача может иметь два решения.

      2)  Применение поворота.

        Пример. Построить квадрат, если известен его центр и две точки, лежащие на смежных сторонах.                  

 

Рис.23                 

       Анализ. На рис.23 кроме заданных в условии точек Р, О, М изображен и весь искомый квадрат АВСD. Он обладает свойством самосовмещения при повороте на угол 900 (либо кратный ему). При таком повороте, например, сторона АВ совместится с ВС. Поэтому и заданная точка Р перейдет в некоторую точку К отрезка ВС .

Построение. Подвергнем плоскость трижды повороту вокруг центра О на угол 900. На каждой стороне искомого квадрата получим по паре точек (образы заданных Р и М), проведем стороны.

Конечно, метод поворота уместен лишь в частных задачах  о фигурах, заведомо обладающих «поворотной симметрией». Иногда это называют методом «самосовмещения».

Пример. Точки М, Р, К делят стороны правильного треугольника АВС в отношении 2:1 (Рис.24). Доказать, что прямые АР, ВК, СМ ограничивают тоже равносторонний треугольник.

Доказательство. Обозначим через О центр ∆АВС. При повороте плоскости вокруг О на угол 1200 (либо кратный ему) стороны ∆АВС отобразятся в смежные. Заданные точки М, Р, К перейдут одна в другую, так как делят стороны в одинаковом отношении. Поэтому отобразятся друг в друга и прямые АР, ВК, СМ, порождающие новый треугольник. Значит, этот треугольник обладает «поворотной симметрией» (на углы, кратные 1200), то есть является правильным. Ч.т.д.

 

Рис.24                                                         Рис.25

Заметим, что смысл решения не изменился бы и в случае, например, квадрата (Рис.25), стороны которого делятся заданными точками Р, М, К, Н  в одинаковом отношении. Здесь нужно поворачивать плоскость на углы, кратные 900.

Типичные задачи на применение поворота :

Рис.26   

1)Через данную точку  Р  провести прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между двумя заданными окружностями, делился этой точкой пополам.

     Анализ (Рис.26). При повороте плоскости вокруг точки Р на угол 1800 один конец искомого отрезка перейдет в другой. Связав с этими концами «куски» окружностей, найдем на пересечении дуг искомые точки.

Построение. Пересечем первую окружность с образом второй при повороте вокруг точки  Р на угол 1800 . 

2) Даны точка О и прямые aиb, не содержащие О. Из точки О как из центра описать окружность, чтобы ее дуга, заключенная между данными прямыми, была видна из точки О под данным острым углом  φ . 

Решение . Нужно построить дугу АВ с центром О и угловой мерой φ , причем Аа, Вb. При повороте на угол φ вокруг точки О один конец А искомой дуги перешел бы в другой – В . Представим себе, как вместе с точкой А подвергается повороту и содержащий его участок заданной прямой  а . Его образ пересечет прямую  b  в точке, которая станет концом искомой дуги. Итак, достаточно пересечь прямую  bс образом прямой  а  при повороте на угол φ вокруг центра О.

Скачать файл