Классификация движений плоскости. Композиции простейших движений. Применение движений плоскости к решению задач, страница 2

Итак, симметрия относительно “наклонной” оси  gравносильна композиции симметрии S_l c осью Ох и поворота  вокруг начала координат. Оба эти отображения ранее были описаны в §1.1 .  Симметрии      соответствуют формулы    типа (1), а повороту  на угол α=2β  вокруг начала О координат отвечают формулы типа (4):    .           Сочетая эти две системы, получим ответ:

                          (7)

    (аналитическое представление симметрии с осью, проходящей через начало    координат под углом β к горизонту).

Решение. Каждую компоненту в композиции  представим парой осевых симметрий, причем умышленно употребим некоторую ось l дважды (чтобы сократить в записи  выражение S_lS_l = E). Итак, пусть «разложили» поворот               (где оси lи g пересекаются в наперед заданной точке О)  и  параллельный перенос     (где оси lи fобе перпендикулярны заданному вектору ) (Рис.18). Тогда    = ()() =    , то есть получили композицию двух симметрий относительно непараллельных осей  gи f .

Решение. Каждый из двух заданных поворотов  и  представим в виде пары симметрий, искусственно употребляя некоторую ось l  дважды, чтобы подвергнуть «сокращению»: = ()() =  .  

         Композиция двух поворотов с несовпадающими центрами равносильна двум осевым симметриям.

Здесь возможны два различных случая, в зависимости от расположения осей fиg.

1)  Они окажутся параллельными (Рис.19), если сумма углов  =(g, l) и =(f, l)  между парами осей окажется кратной 180⁰ (то есть величина  кратна 360⁰). Параллельность осей симметрии соответствует в задаче 1  случаю (б), то есть параллельному переносу. Длина получаемого вектора будет вдвое больше расстояния между осями fи g, а направление им перпендикулярно.

2)   Если же ≠ kπ  (то есть ≠ 2kπ), то получим пересечение осей fиgв некоторой новой точке С (Рис.20). Согласно рассуждению из задачи 1 (случай (в)), точка С станет центром результирующего поворота. При этом угол между осями  fиgбудет равен  ( внешний угол в треугольнике АВС равен сумме двух внутренних, с ним не смежных). Следовательно, итоговый поворот произойдет вокруг точки С на угол γ , равный сумме  углов двух исходных поворотов.                                                                 

Рис.19                                                                Рис.20                           

Построение. Проведем прямую lчерез центры  А и В заданных поворотов. Через точки А и В проведем оси fиg(Рис.19, 20) так, чтобы поворот g → l происходил на угол  , а поворот l → f  - на угол   . Если оси fиg параллельны (Рис.19), то перпендикулярно к ним строим результирующий вектор  (длина которого вдвое больше расстояния между fи g). Если же оси пересекутся (Рис.20), то получим центр  С  нового поворота на угол  γ =  .

Вывод: