Математика \ Алгебра

Классификация движений плоскости. Композиции простейших движений. Применение движений плоскости к решению задач, страница 5

          3)  Применение параллельного переноса.

     Пример. Провести дорогу наименьшей длины из пункта А в пункт К, которые разделены двумя водными преградами. Мосты построить перпендикулярно берегам обеих рек (Рис.27).

      Решение. Наименьшие расстояния достигаются по прямой, и в нашем случае дорога составится из пяти отрезков ломаной, причем два звена должны быть перпендикулярны к берегам .  Если представить  звенья искомой ломаной  направлен-

Рис.27

ными отрезками, то из пяти векторов два будут известны заранее – это  и  (Рис.27). Поскольку сложение векторов перестановочно, то можно заранее найти +=.  Тогда остальные три слагаемые вместе должны дать вектор  . Значит, три участка движения (между реками) составятся в ломаную, концы которой можно приложить к точкам В и К .

Наименьшей длины ломаная достигнет, если все три звена расположаться вдоль общей прямой ВК. То есть каждый из трех векторов должен быть параллелен ВК. Следовательно, если вначале построить вспомогательный вектор =+ , то его конец В станет началом вектора  , параллельно которому нужно идти на каждом из трех участков между реками. Наилучший путь – АР1Р2Р3Р4К .   

Образное сравнение: для прокладки сухопутных участков пути понадобилось сдвинуть берега рек (перпендикулярно руслам), «прочертить дорожку» по прямой АК, после чего вновь раздвинуть берега. Метод «сдвигания берегов» часто помогает в построении четырехугольников. Здесь удобно переносить одну известную сторону вдоль другой известной, сдвигая вместе разрозненные фрагменты .

Типичные задачи на применение параллельного переноса:

1)Построить четырехугольник, зная все его стороны и угол между двумя про     тивоположными сторонами.

Анализ. Пусть в искомом четырехугольнике АВСD известным является угол между сторонами АD и ВС (Рис.28). Перенесем сторону АD вдоль стороны АВ до

Рис.28                        

Совмещения  с ВС. Тогда при вершине В заданный в условии угол будет образован известными отразками ВС и ВК=АD.

      Построение можно начать с треугольника ΔКВС (по двум сторонам и углу между ними). Затем засечками циркуля построим D (на известных расстояниях DК=АВ  и  DC от К и С ). Останется достроить четвертую вершину А параллелограмма АВКD.        

        При построении четырехугольника полезно применять  вписанный в него параллелограмм, причем начинается изображение фигуры  с треугольного фрагмента .

2)  Построить отрезок, параллельный и равный заданному, чтобы концы его оказались на двух заданных окружностях.

     Решение сводится к отысканию параллелограмма ABCD, одна сторона АВ которого уже построена, а вершины С и D должны лежать на заданных двух окружностях (на рис.29 они изображены сплошной линией).                                       

Рис.29

Применим параллельный перенос плоскости, задаваемый направленным отрезком . Это движение отобразит искомую вершину D в другую искомую – С. Окружность, содержавшая D, перейдет в пунктирную окружность, содержащую С. При этом точка С лежит и на второй заданной окружности. Значит, для нахождения вершины С достаточно пересечь вторую окружность с образом первой при параллельном переносе .

Замечание. Можно обнаружить общий смысл в задачах, посвященных применению разных движений. Часто главным элементом построения становится пересечение заданной фигуры с образом другой заданной фигуры при осевой симметрии, повороте либо параллельном переносе. Очевидна похожесть решений на рис.22, 26, 29. Все они как бы иллюстрируют «метод пересечения с образом». Предпосылкой для использования этого графического приема является наличие внутренней симметрии (зеркальной, поворотной или переносной) в искомой фигуре. Общие идеи можно обнаружить и в применении композиций разных типов движений.

Скачать файл