Аффинные преобразования плоскости. Некоторые свойства параллельного проектирования. Частные виды аффинных преобразований

Страницы работы

Содержание работы

Глава 3.


АФФИННЫЕ   ПРЕОБРАЗОВАНИЯ    плоскости


Слово «affinitas» можно перевести как «родственный». В геометрии родственными называют, например, фигуру и ее параллельную проекцию на некоторую плоскость. Если движения сохраняют расстояния, подобия – пропорции фигур и углы, то аффинные преобразования сохраняют те же свойства, что и параллельная проекция.

Определение. Параллельным проектированием называют отображение точек плоскости ω1 на точки плоскости  ω2 , задаваемое направляющей прямой  так, что образом всякой точки В1  ω1 будет точка В2 ω, удовлетворяющая условию  В1В2l. 

                                          

а)                                 Рис.48                                      б)

Перечислим некоторые свойства параллельного проектирования:

1)  Отображение является взаимно-однозначным, то есть у каждой точки есть образ, а для каждого образа найдется единственный прообраз. Все неподвижные точки отображения расположены на прямой  g = ω1  ω2 (Рис.48).

2)  Образом произвольной прямой  В1С1 будет тоже прямая В2С2 , потому что всевозможные параллелли, проведенные через точки прямой В1С1 , окажутся в некоторой общей плоскости  δ , которая рассечет ω2  тоже по прямой. Образом отрезка будет отрезок.

3)  Прямая В1С1 и ее образ В2С2 либо пересекаются на прямой g (Рис.48, б), либо обе ей параллельны (Рис.48, а). В противном случае они бы скрещивались, что противоречит их общей принадлежности к плоскости  δ .

4)  Размеры фигур и углы в проекциях искажаются, однако сохраняются пропорции тех отрезков, которые лежат вдоль общей прямой. Это вытекает из теоремы Фалеса: внутри плоскости δ на сторонах угла С1АС2 (Рис.48, б)  параллельные прямые В1В2 и С1С2 отсекут пропорциональные отрезки:     =   (15). Иными словами, на проекции сохранится свойство точки В делить отрезок АС в заданном отношении. Числовая характеристика (15) будет играть далее очень важную роль, поэтому для нее вводится специальная терминология. Дробь  обозначим символически в виде скобок (АВС) (буквы перечисляются без знаков препинания). Это число характеризует взаимное расположение трех точек общей прямой как до отображения, так и после него. Например, зная, что (АВС)=2, можно к двум заданным точкам А и В на прямой найти третью – С.

   

Впрочем, возможны два варианта расположения С (Рис.49) – внутри отрезка АВ  ( С )  и  вне его ( С*).

Рис.49

Чтобы их отличить, условимся к отношению добавлять знак минус, если «третья» точка С лежит внутри отрезка АВ.

Определение. Простым отношением трех точек А, В, С одной прямой назовем число , где знак « – » ставится в случае, когда третья точка С лежит между двумя первыми.

Здесь важен порядок перечисления точек, от которого зависит и число.

       Пример. На рис.50 точки М, Р, К, заданные на числовой оси координатами, образуют простые отношения трех точек:

Рис.50

Из перечисленных свойств параллельного проектирования наиболее важными являются отображение прямой в прямую, то есть повторение в образах коллинеарного (col – общая, linear – линия) расположения точек, а также сохранение деления отрезка в заданном отношении.

      Вывод. При параллельном проектировании сохраняются коллинеарность и простое отношение трех точек одной прямой.

Возвращаясь из стереометрии в планиметрию, можно теперь ввести понятие «аффинного преобразования плоскости». Речь пойдет о новом способе взаимно-однозначного отображения плоскости на себя, то есть о перераспределении точек внутри (одной!) плоскости.

       Определение. Аффинным называется такое преобразование плоскости, при котором сохраняется коллинеарность и простое отношение трех точек любой прямой.

Иными словами, любые три точки А1, В1, С1 всякой прямой должны отобразиться в точки А2, В2, С2 , лежащие вместе на некоторой новой прямой, причем с сохранением отношения:  (А2В2С2) = (А1В1С1).

Аффинное преобразование обозначим буквой  .

§ 3.1.  Частные виды аффинных преобразований

1)  Подобие (является частным случаем, так как сохраняет коллинеарность точек и простое отношение трех точек одной прямой).

2)  Родство.   Обозначение :  F .

Родство можно считать неким плоским аналогом параллельного проектирования и определить наглядно с помощью фигур (Рис.48, б).

Рис.51

Повернем мысленно плоскости ω1 и ω2  вокруг общей прямой g до совмещения, чтобы все точки А1, В1, С1, … и их образы оказались в общей плоскости (Рис.51). Прямые В1В2, С1С2 в новом расположении вновь окажутся параллельными согласно обратной теореме Фалеса (если на сторонах произвольного угла соответственные отрезки пропорциональны, то отсекающие их прямые будут параллельными).

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Алгебра
Тип:
Учебные пособия
Размер файла:
359 Kb
Скачали:
0