Аффинные преобразования плоскости. Некоторые свойства параллельного проектирования. Частные виды аффинных преобразований

Глава 3.

АФФИННЫЕ   ПРЕОБРАЗОВАНИЯ    плоскости

Слово «affinitas» можно перевести как «родственный». В геометрии родственными называют, например, фигуру и ее параллельную проекцию на некоторую плоскость. Если движения сохраняют расстояния, подобия – пропорции фигур и углы, то аффинные преобразования сохраняют те же свойства, что и параллельная проекция.

Перечислим некоторые свойства параллельного проектирования:

1)  Отображение является взаимно-однозначным, то есть у каждой точки есть образ, а для каждого образа найдется единственный прообраз. Все неподвижные точки отображения расположены на прямой  g = ω₁  ω₂ (Рис.48).

2)  Образом произвольной прямой  В₁С₁ будет тоже прямая В₂С₂ , потому что всевозможные параллелли, проведенные через точки прямой В₁С₁ , окажутся в некоторой общей плоскости  δ , которая рассечет ω₂  тоже по прямой. Образом отрезка будет отрезок.

3)  Прямая В₁С₁ и ее образ В₂С₂ либо пересекаются на прямой g (Рис.48, б), либо обе ей параллельны (Рис.48, а). В противном случае они бы скрещивались, что противоречит их общей принадлежности к плоскости  δ .

4)  Размеры фигур и углы в проекциях искажаются, однако сохраняются пропорции тех отрезков, которые лежат вдоль общей прямой. Это вытекает из теоремы Фалеса: внутри плоскости δ на сторонах угла С₁АС₂ (Рис.48, б)  параллельные прямые В₁В₂ и С₁С₂ отсекут пропорциональные отрезки:     =   (15). Иными словами, на проекции сохранится свойство точки В делить отрезок АС в заданном отношении. Числовая характеристика (15) будет играть далее очень важную роль, поэтому для нее вводится специальная терминология. Дробь  обозначим символически в виде скобок (АВС) (буквы перечисляются без знаков препинания). Это число характеризует взаимное расположение трех точек общей прямой как до отображения, так и после него. Например, зная, что (АВС)=2, можно к двум заданным точкам А и В на прямой найти третью – С.

Рис.49

Чтобы их отличить, условимся к отношению добавлять знак минус, если «третья» точка С лежит внутри отрезка АВ.

Здесь важен порядок перечисления точек, от которого зависит и число.

       Пример. На рис.50 точки М, Р, К, заданные на числовой оси координатами, образуют простые отношения трех точек:

Из перечисленных свойств параллельного проектирования наиболее важными являются отображение прямой в прямую, то есть повторение в образах коллинеарного (col – общая, linear – линия) расположения точек, а также сохранение деления отрезка в заданном отношении.

Возвращаясь из стереометрии в планиметрию, можно теперь ввести понятие «аффинного преобразования плоскости». Речь пойдет о новом способе взаимно-однозначного отображения плоскости на себя, то есть о перераспределении точек внутри (одной!) плоскости.

Иными словами, любые три точки А₁, В₁, С₁ всякой прямой должны отобразиться в точки А₂, В₂, С₂ , лежащие вместе на некоторой новой прямой, причем с сохранением отношения:  (А₂В₂С₂) = (А₁В₁С₁).

Аффинное преобразование обозначим буквой  .

§ 3.1.  Частные виды аффинных преобразований

1)  Подобие (является частным случаем, так как сохраняет коллинеарность точек и простое отношение трех точек одной прямой).

2)  Родство.   Обозначение :  F .

Родство можно считать неким плоским аналогом параллельного проектирования и определить наглядно с помощью фигур (Рис.48, б).