Доказательство. Площадь «квадрируемой» фигуры определяется как предел бесконечной суммы сколь угодно малых квадратов, содержащихся в ней. Следовательно, отношение площадей двух фигур можно оценивать (в пределе) отношением числа содержащихся в них квадратов, что будет равно тому же самому отношению количеств параллелограммов, охваченных образами фигур. Иначе говоря , в
|
Рис.57 |
Процессе отыскания предела нужно следить одновременно как за фигурами, так и за их аффинными образами (рис.57). Отношения ко- личеств будут совпадать даже независимо от того, существует ли сам предел. Ч.т.д. |
Замечание 5. Композиция двух аффинных преобразований плоскости равносильна новому аффинному преобразованию.
Доказательство. Если последовательно выполнить два аффинных преобразования, то в результате сквозь оба этапа отображений сохранятся коллинеарность и простое отношение трех точек всякой прямой. Так что композиция двух аффинных преобразований даст некоторое новое, тоже аффинное . Ч.т.д.
Ранее среди всевозможных частных видов аффинных преобразований мы упомянули как наиболее важные родство и подобие. Конечно, все частные случаи подобия (движения, гомотетии и т.д.) являются тоже аффинными, то есть сохраняют коллинеарность и простое отношение трех точек одной прямой. Изучая движения и подобия, мы задавали их конкретные варианты с помощью пары треугольников (как образ и прообраз). Для движения их брали конгруэнтными, для подобия – подобными.
ВОПРОС: Образы скольких точек нужно указать, чтобы однозначно задать аффинное преобразование всей плоскости ?
Оказывается, и здесь достаточно предъявить пару треугольников (как образ и прообраз), причем произвольной формы и размеров.
Теорема. Для двух заданных произвольных треугольников ∆А1В1С1 и ∆А2В2С2 существует и притом единственное аффинное преобразование плоскости, отображающее первый во второй.
Доказательства , как и ранее, проводим отдельно для двух утверждений.
1) Существование аффинного преобразования, отображающего первый (произвольный) ∆А1В1С1 во второй ∆А2В2С2, докажем путем его конкретного построения. Будем действовать в два этапа (Рис.58).
а) На стороне А1С1 построим вспомогательный ∆А1В3С1 , подобный “второму” ∆А2В2С2. (Для этого отложим при вершинах А1 и С1 нужные углы и пересечем лучи в новой вершине В3 ). Тогда при родстве F с осью А1С1 и парой соответственных точек В1 и В3 сторона А1В1 отобразится в А1В3 , и весь “первый” треугольник – в “третий”:
F : ∆А1В1С1 → ∆А1В3С1 .
|
Рис.58 |
б) Треугольники ∆А1В3С1 и ∆А2В2С2 подобны, поэтому (по теореме из §2.2) найдется некоторое подобное преобразова- ние плоскости Р , отображающее эти треугольники один на другой: Р : ∆А1В3С1 → ∆А2В2С2 . В результате можно построить композицию преобразований Р Задающую (согласно замечанию 5) Искомое аффинное отображение. |
2) Единственность
понимаем в том смысле, что если при аффинном преобразовании точки А1 ,
В1 , С1 отобразились в А2 , В2 , С2
, то “судьба” всех остальных точек плоскости предопределена однозначно,
единственно возможным образом. Например, произвольную точку М1
(рис.58) можно соотнести с треугольником ∆А1В1С1 ,
используя точку пересечения К1=А1В1
М1С1 .
Из условия сохранения коллинеарности и простого отношения трех точек прямой
образ К2 должен принадлежать отрезку А2В2 деля
его в том же отношении, то есть (А1В1К1) = (А2В2К2)
. Аналогично найдется и точка М2 на прямой С2К2
из условия (С1К1М1) = (С2К2М2).
Итак, для всякой точки М1 ее образ М2 восстанавливается
однозначно. Ч.т.д.
Следствие. Любое аффинное преобразование плоскости можно представить в
виде композиции родства и подобия: А = Р 
F .
§ 3.3. Аналитическое представление аффинного преобразования.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
