Аффинные преобразования плоскости. Некоторые свойства параллельного проектирования. Частные виды аффинных преобразований, страница 5

Итак, конкретное аффинное преобразование плоскости можно задать путем предъявления двух произвольных треугольников (как прообраз и образ). Пусть это будут те же  ∆А1В1С1  и  ∆А2В2С2 , что и на рис.58. Введем декартову координатную систему с центром в точке А1, направляя ось  х  вдоль отрезка А1С1 (рис.59). Пусть для заданной произвольной точки М11, y1) образом окажется  точка М22, y2).

                          

Будем искать зависимость между их координатами, считая аффинное преобразование «разложенным» на две компоненты: А = Р  F (см. доказательство теоремы в §3.2). На каждом этапе отображения будем “пересчитывать” координаты образа.

Рис.59

1) Родство  F : ∆А1В1С1   →  ∆А1В3С1  даст для точки М11, y1) некоторый «промежуточный» образ М33, y3). Расположение оси  х  вдоль оси А1С1  родства позволяет применить уравнения вида (17):

2) Подобие  Р : ∆А1В3С1   →  ∆А2В2С2  отобразит  М33, y3) в точку М22, y2), причем расположение координатных осей по отношению к треугольникам является таким же (рис.42), как и при выводе системы  аналитического представления подобия (11). Поэтому получим

      .

Сочетая эти системы уравнений, можно найти сквозь два этапа преобразований искомую зависимость между координатами в виде

             (18)

Обилие числовых параметров в уравнениях напоминает нам о представлении подобия в виде композиции гомотетии (коэффициент k) и движения, которое, в свою очередь, «распадалось» на осевую симметрию (если она понадобилась, то берем ε=-1, если нет, то ε=1), поворот (на угол α) и параллельный перенос (с координатами a, b).             Иначе говоря, более «подробным» представлением аффинного преобразования, переводящего заданные  ∆А1В1С1  в    ∆А2В2С2 , будет                     

 .

В новых обозначениях  а1= kcosαa2 = cosαkεμsinα  , b1=ksinα ,   b2=sinα + kεμcosαсистема  (18)  превращается в

                        (19)

(аналитическое представление аффинного преобразования).

Определитель этой системы не равен нулю:    

       (20)

Действительно, после упрощения выражения

∆ = k cosα (λksinα + εkμcosα) - ksinα (λkcosα - εkμsinα)

получим  значение  ∆ = k2εμ . Оно не может «обнулиться», поскольку  k ≠ 0 (коэффициент гомотетии),  ε = 1,   μ = m1/m2 ≠ 0, так как точка В1(q1, m1) (одна из двух, задававших преобразование родства) не лежит на оси родства, то есть  m1 ≠ 0 .

Замечание 1. Всякое аффинное преобразование плоскости аналитически задается линейной системой уравнений (19), причем невырожденной .

Невырожденность (20) означает возможность обращения матрицы системы  (19), то есть получения обратной зависимости «старых» координат от «новых» в некотором виде (21):

                             (21)

Это обратное преобразование будет, в частности, отображать «второй» треугольник     ∆А2В2С2  в “первый”   ∆А1В1С1

Рассмотрим теперь утверждение, обратное к замечанию 1.

Замечание 2.  Всякая линейная система (19) при условии (20) задает на плоскости некоторое аффинное преобразование.

Доказательство. Покажем, что отображение точек плоскости по правилам (19)-(20) будет удовлетворять определению аффинного преобразования, то есть сохранит в образах коллинеарность и простое отношение трех точек прямой.

1)  Коллинеарность сохранится, если любая прямая перейдет снова в прямую. Любая прямая на плоскости задается некоторым уравнением   Ах + Вy + С = 0 .    Пусть точка с координатами х1 , у1 , принадлежащая этой прямой (т.е.  Ах1 + Вy1 + С = 0), отобразилась в  х2, у2  . Используя обратное преобразование (21), получим А(v1x2+v2y2+v)+B(w1x2+w2y2+w)+C=0, что в обозначениях Av1+Bw1=A* , Av2+Dw2=B* , Av+Bw+C=C* равносильно условию A*x2+B*y2+C*=0  принадлежности образов к новой прямой. Итак, прямая отобразилась в прямую. Ч.т.д.

2)  Сохранение простого отношения проверяем для произвольных трех точек А(хА, уА), В(хВ, уВ), С(хС, уС) одной прямой.