Аффинные преобразования плоскости. Некоторые свойства параллельного проектирования. Частные виды аффинных преобразований, страница 6

Рис.60

Докажем, что точка Р разделит отрезок МК в том же отношении λ, что и точка В делила отрезок АС. На языке координат эта задача имеет следующий вид. Зная, что   ,   , докажем ,  что    ,    .

Итак, используя условия (**),  получаем:

 =  =

=  +  +  =  а₁х_В+а₂у_В+а = х_Р .

Поскольку для координат  у  структуры всех формул аналогичны, то тем же способом получим  . Ч.т.д.

§ 3.4.  Аффинные  свойства  фигур  и  их применение          к решению задач планиметрии.

Аффинными называют свойства и понятия, которые сохраняют свой смысл после любого аффинного преобразования (например, родства), а, значит, и после параллельного проектирования.

Примеры. К аффинным понятиям относятся «прямая», «отрезок», «параллелограмм», «треугольник», «медиана» и т.п. Не являются аффинными термины «квадрат» (его образом может стать не квадрат), «высота треугольника» (так как углы при аффинном отображении искажаются) и.т.д.

Аффинными свойствами являются «параллельность», «деление отрезка в заданном отношении», «численное отношение площадей фигур»  (см. доказательства в §3.2) и.т.д.

В некоторых школьных задачниках по геометрии выделяют даже разделы под названием «аффинные задачи». Их характерным признаком является употребление в текстах задач только аффинных понятий и свойств. Покажем решение такого рода задач с применением аффинных преобразований.

Доказательство. Произвольная трапеция АВСD является частью треугольника АFD (рис.61, а). Нужно доказать, что прямая FO рассекает пополам отрезки АD и ВС. Согласно теореме из §3.2, найдется аффинное преобразование, отображающее ∆АFD в наперед заданный , например,  равнобедренный  ∆А₁F₁D₁ (рис.61, б).

Его частью станет трапеция А₁В₁С₁D₁ , т.к. сохранится параллельность прямых. Сохранятся также отношения, в которых точки В и С делят боковые стороны АF и FD.  Новая трапеция станет  равнобедренной,  поэтому (из условий симметрии) ее основания разделятся прямой F₁O₁  пополам. Подвергнем  ∆А₁F₁D₁ обратному  преобразованию, отображая его в  ∆АFD . Отрезки А₁D₁ и В₁С₁ перейдут в основания исходной трапеции, причем сохранится свойство  их деления пополам  прямой  FO . Ч.т.д.

       Примечание. Рассмотренная задача является «чисто аффинной», так как в тексте ее условия употребляются только аффинные свойства и понятия: «трапеция», «прямая», «пересечение», «деление отрезка пополам». Равнобедренная трапеция А₁В₁С₁D₁  может служить образом исходной АВСD, поэтому любое аффинное свойство одной должно встретиться и у другой. Идея решения состояла в том, чтобы из всех «аффинно-эквивалентных» между собой трапеций выбрать ту, для которой доказываемое свойство наиболее очевидно.

     Доказательство. Поскольку площадь ∆АВС заранее определена, то речь можно вести о той доле площади, которую от «целого» составит ∆MPL . Отношение площадей не изменится при любом аффинном преобразовании (см. замечание 4 из §3.2), как и деление сторон треугольника в отношениях k₁ , k₂ , k₃ . Используем аффинное преобразование, переводящее заданный  ∆АВС в равносторонний  ∆А₁В₁С₁  (рис.62 а, б).