Собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных векторов

§ 1. Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор  линейного пространства V над полем P называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое число P, что

 = .                                                     (1)

Число  из равенства (1) называется собственным значением оператора f, соответствующим собственному вектору .

Другими словами, собственным вектором линейного оператора  является такой вектор линейного пространства V, который коллинеарен своему образу при операторе f.

Свойства собственных векторов.

1º. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.

2º. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы.

3º. Множество  всех собственных векторов линейного оператора  с одним и тем же собственным значением  вместе с нулевым вектором является подпространством линейного пространства V. Это подпространство называется собственным подпространством оператора f.

Пусть пространство V конечномерное, т.е. . Если А – матрица линейного оператора  в некотором базисе, Х – координатный столбец собственного вектора  в том же базисе, то равенство (1) равносильно равенству

.                                                   (2)

Пример 1. Показать, что в случае невырожденности линейного оператора  операторы  и  имеют одни и те же собственные векторы, и найти связь между их соответствующими собственными значениями.

►Если оператор  невырожденный, то , поэтому нуль не может быть собственным значением невырожденного линейного оператора. Обозначим  – тождественный оператор. Если  – собственный вектор оператора  с собственным значением , то

   , т.е. вектор  удовлетворяет определению собственного вектора оператора , причем соответствующее собственное значение равно . Таким образом, взаимно обратные линейные операторы имеют одинаковые собственные векторы, а их собственные значения – взаимно обратные числа.◄

Пример 2. Пусть  и  – собственные векторы линейного оператора  с различными собственными значениями,  и  – отличные от нуля числа. Доказать, что вектор  собственным не является.

►Обозначим  и  – собственные значения линейного оператора , соответствующие собственным векторам  и  соответственно, . Предположим, что вектор  также является собственным вектором оператора , и пусть  – его собственное значение. Тогда

  [линейность ]

  [векторы  и  – собственные]

  .

В силу линейной независимости собственных векторов с различными собственными значениями, из последнего равенства вытекает, что , . Так как числа  и  отличны от нуля, то , , следовательно, и мы пришли к противоречию.◄

Пример 3. Доказать, что а) собственные векторы линейного оператора, соответствующие собственному значению нуль, и только они лежат в ядре этого оператора;

б) собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям, лежат в образе этого оператора.

►Образомлинейного оператора  называется подмножество линейного пространства  , а ядром – подмножество линейного пространства  . Известно, что  – подпространство пространства , а – подпространство пространства .

а) Если , то

{ – собственный с собственным значением }

{}{}.

б) { – собственный с собственным значением }  {}  {}. Так как  – подпространство , то оно замкнуто относительно операции умножения на число, поэтому

{} {}.◄

Пример 4. В некотором базисе трехмерного пространства  линейный оператор  имеет матрицу . Проверить, какие из векторов ,  и  будут собственными векторами этого оператора и указать их собственные значения.

►Для каждого из заданных векторов проверяем условие (2):

,  – собственный, ;

,  – не собственный;

,  – собственный, .◄

Пример 5. В пространстве  задан линейный оператор . Найти собственные функции (собственные векторы) оператора  и соответствующие им собственные значения.

►Для произвольной функции

 =

==.

(при вычислении интегралов использовалось свойство: интеграл от синуса или косинуса по полному периоду равен нулю). Таким образом, все функции вида  являются собственными функциями заданного оператора с собственным значением, равным .◄

Пример 6. Обозначим  – линейное пространство функций, определенных и бесконечное число раз непрерывно дифференцируемых на всей числовой прямой,  – оператор дифференцирования, ставящий в соответствие каждой функции ее производную (т.е. ),  – тождественный оператор. Показать, что функция  является собственной функцией как линейного оператора , так и линейного оператора , тогда как  является собственной функцией линейного оператора , но не будет собственной функцией оператора .

►Проводим проверку непосредственно по определению:

, ;

, ;

;

, .◄

Правило нахождения собственных векторов. Обозначим А матрицу линейного оператора  в некотором базисе конечномерного линейного пространства   над полем , а Х – координатный столбец вектора  в том же базисе.