Собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных векторов, страница 4

►1-й способ.

=

(при вычислении интегралов использовались следующие их свойства: интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю; интеграл от четной функции по симметричному промежутку равен удвоенному интегралу от той же функции по правой половине промежутка). Если  – собственная функция, то для некоторого  , т.е.,

=                         (6)

Равенство (6) следует рассматривать как равенство функций, значит, оно справедливо при любом . Это возможно в том и только в том случае, когда коэффициенты при соответствующих степенях переменной  совпадают. Получаем систему уравнений

Возможны два случая:

а) . Тогда , , значит, . Одной из таких функций будет , а все остальные ей пропорциональны.

б) . Тогда  Если , то и , и наоборот. В этом случае , что противоречит определению собственного вектора. Если же , то, разделив первое уравнение на второе, находим , т.е., . При  , ; при  ,  (все остальные ей пропорциональны).

2-й способ. Составим матрицу линейного оператора  в базисе . Для этого, как обычно, найдем образы этих функций:

, ,.

Матрица оператора  в выбранном базисе имеет вид

.

Тогда

, , .

а) , , ,

(все остальные ей пропорциональны);

б) , , ,  

(все остальные ей пропорциональны);

в) , , ,  

(все остальные ей пропорциональны).◄

Пример 13. В комплексном линейном пространстве  комплексных квадратных матриц второго порядка рассматривается следующий линейный оператор: : . Найдите собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов этого оператора, если . Если полученная система является базисом, запишите в нем матрицу оператора .

►Составим матрицу линейного оператора  в базисе , для чего найдем образы этих матриц:

, , ,

Матрица оператора  в выбранном базисе имеет вид

.

Определитель матрицы  вычислим по теореме Лапласа, выделяя первую и третью строчки. Единственный отличный от нуля минор второго порядка в этих строчках расположен в первом и третьем столбцах. Тогда

.

Этот многочлен имеет два различных комплексных корня  и , каждый из которых имеет кратность, равную двум.

а) , =.

Система с такой матрицей имеет два линейно независимых решения:  и , значит, этому собственному значению соответствуют две матрицы: .

б) ,   .

Система с этой матрицей также имеет два линейно независимых решения:  и , этому собственному значению соответствуют матрицы: .

Итак, в четырехмерном пространстве мы нашли четыре линейно независимых собственных вектора, значит, они образуют базис. Матрица оператора  в базисе  выглядит так:

.◄

Задачи

1.  В трехмерном пространстве  свободных векторов задан ортонормированный базис . Найдите собственные векторы и их собственные значения для  следующих линейных операторов : а)  – поворот вектора вокруг оси  на угол ;

б)  – проектирование на плоскость ;

в)  – проектирование на ось;

г)  – симметрия относительно плоскости ; д)  – симметрия относительно оси ;

е)  – симметрия относительно начала координат.

2.  Пусть  – ненулевой вектор пространства свободных векторов . Найдите собственные значения и собственные векторы следующих линейных операторов : а) ; б) ; в) .

3.  Линейный оператор  в некотором базисе пространства  задан матрицей . Проверьте, какой из векторов  или  является собственным вектором этого оператора и найдите его собственное значение, если:

а) ; б) ;

в) .