►1-й способ.
=
(при
вычислении интегралов использовались следующие их свойства: интеграл от
нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю; интеграл от четной функции
по симметричному промежутку равен удвоенному интегралу от той же функции по
правой половине промежутка). Если – собственная функция, то
для некоторого
, т.е.,
=
(6)
Равенство
(6) следует рассматривать как равенство функций, значит, оно справедливо при
любом . Это возможно в том и только
в том случае, когда коэффициенты при соответствующих степенях переменной
совпадают. Получаем систему
уравнений
Возможны два случая:
а) . Тогда
,
, значит,
. Одной из таких функций
будет
, а все остальные ей пропорциональны.
б) . Тогда
Если
, то и
, и наоборот. В этом случае
, что противоречит
определению собственного вектора. Если же
,
то, разделив первое уравнение на второе, находим
, т.е.,
. При
,
; при
,
(все остальные ей пропорциональны).
2-й способ.
Составим матрицу линейного оператора в базисе
.
Для этого, как обычно, найдем образы этих функций:
,
,
.
Матрица
оператора в выбранном базисе имеет
вид
.
Тогда
,
,
.
а) ,
,
,
(все остальные ей пропорциональны);
б) ,
,
,
(все остальные ей пропорциональны);
в) ,
,
,
(все остальные ей пропорциональны).◄
Пример
13. В комплексном линейном пространстве комплексных
квадратных матриц второго порядка рассматривается следующий линейный оператор:
:
. Найдите собственные значения
и максимальную линейно независимую систему собственных векторов этого оператора,
если
. Если полученная система
является базисом, запишите в нем матрицу оператора
.
►Составим матрицу линейного оператора в базисе
, для
чего найдем образы этих матриц:
,
,
,
Матрица
оператора в выбранном базисе имеет
вид
.
Определитель
матрицы вычислим по теореме
Лапласа, выделяя первую и третью строчки. Единственный отличный от нуля минор
второго порядка в этих строчках расположен в первом и третьем столбцах. Тогда
.
Этот многочлен имеет два различных комплексных корня и
, каждый из которых имеет
кратность, равную двум.
а) ,
=
.
Система
с такой матрицей имеет два линейно независимых решения: и
, значит, этому собственному значению соответствуют две
матрицы:
.
б) ,
.
Система
с этой матрицей также имеет два линейно независимых решения: и
, этому собственному значению соответствуют матрицы:
.
Итак, в четырехмерном пространстве мы нашли четыре
линейно независимых собственных вектора, значит, они образуют базис. Матрица
оператора в базисе
выглядит так:
.◄
Задачи
1.
В трехмерном пространстве свободных векторов
задан ортонормированный базис
. Найдите собственные
векторы и их собственные значения для следующих линейных операторов
: а)
– поворот вектора вокруг
оси
на угол
;
б)
– проектирование на
плоскость
;
в)
– проектирование на ось;
г)
– симметрия относительно
плоскости
; д)
– симметрия относительно
оси
;
е)
– симметрия относительно
начала координат.
2.
Пусть – ненулевой вектор
пространства свободных векторов
. Найдите собственные
значения и собственные векторы следующих линейных операторов
: а)
; б)
; в)
.
3.
Линейный оператор в некотором базисе
пространства
задан матрицей
. Проверьте, какой из
векторов
или
является собственным
вектором этого оператора и найдите его собственное значение, если:
а) ; б)
;
в)
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.