Собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных векторов, страница 5

4.  Обозначим  – линейное пространство функций, определенных и бесконечное число раз непрерывно дифференцируемых на всей числовой прямой,  – оператор дифференцирования, ставящий в соответствие каждой функции ее производную (т.е. ),  – тождественный оператор. Покажите, что функция  является собственной функцией линейного оператора  и найдите ее собственное значение в каждом из следующих случаев:

а)  (с – константа);  б) ; в) ;        г) ; д) ;  е) .

5.  В каждом из перечисленных случаев проверьте, являются ли собственными функциями линейного оператора  функции  и , а также для собственных функций найдите их собственные значения, если: а) ;                   б) ; в) ;                г) .

6.  Покажите, что собственными функциями линейного оператора  пространства  в себя являются функции  и , а также укажите их собственные значения.

7.  В пространстве  многочленов степени не выше двух задан линейный оператор . Покажите, что функция  является собственной функцией этого оператора и найдите ее собственной значение.

8.  Покажите, что при умножении линейного оператора на ненулевое число  множество собственных векторов не меняется. Изменяются ли при этом собственные значения?

9.  Покажите, что собственный вектор линейного оператора  является собственным вектором и для оператора . Верно ли обратное утверждение?

10.  Покажите, что для любого многочлена  собственный вектор линейного оператора  является собственным вектором и для оператора , и найдите связь между соответствующими собственными значениями.

11.   Докажите, что все ненулевые векторы линейного пространства V над полем P тогда и только тогда являются собственными векторами оператора , когда , где  – тождественный оператор.

12.  Линейные операторы  и  называются перестановочными, если . Докажите, что если линейный оператор  имеет  различных собственных значений, то любой линейный оператор , перестановочный с , имеет те же собственные векторы, что и .

13.  Докажите, что любые два перестановочных линейных оператора конечномерного комплексного линейного пространства в себя имеют общий собственный вектор.

14.  Линейный оператор  линейного пространства V₃ над полем Р в себя в некотором базисе имеет матрицу А. Найдите собственные значения и собственные векторы этого оператора в случае, когда: а) P = R, б) P = C.

1) ;      2) ;       3) ;       4) ;

5) ;     6) ;    7) ;     8) ;

9) ; 10) ; 11) ;   12) ;

13) ; 14) ;   15) ;      16) ;

17);18); 19) ;20)

15.  Докажите, что корни характеристического многочлена треугольной (в частности, диагональной) матрицы совпадают с ее диагональными элементами.

16.  Докажите, что характеристический многочлен блочно-треугольной (блочно-диагональной) матрицы равен произведению характеристических многочленов ее диагональных блоков.

17.  В линейном пространстве  задан линейный оператор . Найдите собственные значения и собственные функции этого оператора.

18.  В линейном пространстве многочленов степени не выше двух задан линейный оператор . Найдите собственные значения и собственные функции этого линейного оператора, если:

а) ;            б)                в) ;

г) ; д) .

19.  В пространстве  действительных квадратных матриц второго порядка рассматривается линейный оператор транспонирования: : . Найдите собственные значения и собственные векторы этого оператора.

20.  В пространстве  действительных квадратных матриц второго порядка рассматривается следующий линейный оператор: : . Найдите собственные значения и собственные векторы этого оператора, если: а) ; б) .

Составила доцент Березкина Л.Л.